等离子体里的电子为什么会像钟一样振荡

推导

推开的一层电子会自己回来

设电子数密度为每立方米 $n$ 个，离子不动，正电荷正好与电子抵消。把一层电子向右推开很小的距离 $\xi$。左边露出一薄层没被抵消的离子，右边多出一薄层电子，两层的面电荷大小都是 $e n \xi$。

两层异号电荷之间的电场是 $E = e n \xi / \varepsilon_0$，方向指回原位。每个电子受力 $-eE$，代入牛顿定律，得到一个振子，角频率与推开多远无关。

有了温度，就多出一个长度和一个速度

真实的电子还在乱跑。速度的散布用热速度 $v_{\mathrm{th}} = \sqrt{k_B T/m}$ 衡量。一个等离子体周期里，普通电子大约跑过一个德拜长度 $\lambda_D = v_{\mathrm{th}}/\omega_p$。比 $\lambda_D$ 长得多的尺度上，电子像流体一样整体运动；尺度接近 $\lambda_D$ 时，每个电子各自的速度就要紧了。

课程里一直用三个单位：时间以 $1/\omega_p$ 计，速度以 $v_{\mathrm{th}}$ 计，长度以 $\lambda_D$ 计。写成 $k$ 的波数其实是 $k\lambda_D$；$k = 0.5$ 的波，一个波长约 $12.6$ 个德拜长度。

波长变短，电子的速度就显出来了

波长缩到几个德拜长度时，电子在一个周期里就能跑过一个波峰。压强加进回复力，频率随之升高。对长波，这给出 Bohm–Gross 修正，用课程单位写是 $\omega^2 \approx 1 + 3k^2$。

这些跑得快的电子还会做一件更奇怪的事：有一部分跟着波一起走，和波交换能量。流体图像描述不了这种交换。从下一章起，我们同时跟踪电子的位置和速度，这就是动理学。