消失的波纹躲在哪里，网格又怎样把它放回来

推导

条纹以固定速率收紧

把波纹写成复数模式 $e^{ikx}$，记住真实的波纹是它的实部。自由流动下，$e^{ikx}$ 变成 $e^{ik(x-vt)}=e^{ikx}e^{-iktv}$。在固定位置看，分布在速度方向以波数 $\kappa = kt$ 振荡：条纹的密度和时间成正比。

密度要对速度积分。光滑的麦克斯韦分布乘上快速振荡再积分，结果几乎为零，振荡越快越接近零，这就是相混合。打开电场后，电子之间还会互相推，但条纹收紧的速率几乎不变。

网格能存的条纹有极限

间距为 $\Delta v$ 的速度网格只在 $v_j=j\Delta v$ 处取样 $e^{-i\kappa v}$。当 $\kappa\Delta v$ 达到 $2\pi$，每个取样值都回到 $\kappa=0$ 时的数值。网格里存的又是原来那道光滑波纹，速度积分不再相消，电场就回来了。

回来的时刻叫复现时间，只取决于波数和速度间距，与等离子体的物理无关。它准时到来、不看物理，所以加密速度网格是最干净的检验：物理信号原地不动，复现会往后推。

三种会“回来”的信号

回来的电场可能是物理，可能是网格复现，也可能是速度边界的反射。Lab 的速度方向首尾相接，从上边出去的条纹会从下边进来；只要分布在边界附近可以忽略，这就无害。麦克斯韦分布的运行取 $\pm6$，两束电子的运行取 $\pm9$，都满足这一点。

每种嫌疑都有自己的检验。速度格数加倍，复现时间跟着加倍；间距不变而加宽速度范围，边界效应会变。物理信号经得起两种检验。项目的基准测试对第 6 章的回波做了这两项：用 $128$、$256$、$512$ 格，以及速度上限 $6$ 和 $12$，回波时刻都不动。