两个脉冲消失之后，第三个信号出现了

推导

先缠紧条纹，再把它解开

$t=0$ 时一个波数为 $k_1$ 的脉冲，在电场衰减之后留下正比于 $e^{-ik_1x+ik_1vt}$ 的扰动：速度方向的条纹波数以 $k_1t$ 增长。$t=\tau$ 时第二个脉冲，波数 $k_2$，用 $e^{ik_2x-ik_2v(t-\tau)}$ 调制整个分布，第一脉冲留下的条纹也在其中。

乘积里有一项的空间波数是 $k_3=k_2-k_1$，速度相位是 $v[k_1t-k_2(t-\tau)]$。第二个脉冲之后，方括号不断缩小，在某一刻变成零。那一刻这一项在速度方向变得光滑，积分留下非零值，波数为 $k_3$ 的电场就出现了。

回波是脉冲的二阶效应

回波项是两次调制的乘积，幅度与两个脉冲强度都成正比。项目基准测试里，第一脉冲加倍，回波变为 $2.00$ 倍；第二脉冲加倍，变为 $1.94$ 倍。第二个脉冲的推动已经不比条纹间距小很多，更高阶的项开始分走一部分。

1967 年论文的图 1 画出回波包络先升后降，两侧速率不同。第 8 章读这张图和它背后的公式，并用模拟检验这两个速率。

是回波，还是网格复现？

第 3 章说过，粗速度网格会在回波时刻附近造出一个复活的电场。用 32 个速度格，回波模式的电场在 $38.6$ 出现峰值。这个时刻晚于两个脉冲各自的网格复现（$33.5$ 和 $36.8$），早于预言的 $40$，峰高约为真回波的六倍。换成 128、256 或 512 格，这个假信号消失，真回波留在原来的时刻。物理回波和数值回波，就靠这个检验分开。

基准测试还加了第二项：格宽不变、速度上限从 $6$ 放宽到 $12$，回波时刻不变，速度方向的周期边界也就排除了。