L3 · 第 4 章

算出等离子体波消退得多快

麦克斯韦等离子体里的小波，消退速率由一个数决定：让介电函数为零的复频率的虚部。 $k=0.5$ 时这个根是 $\omega=1.4157-0.1534i$ ，模拟拟合出的速率是 $-0.1536$ 。

Sandbox Physics · 2026-10-29

推导

在均匀等离子体附近线性化

写 $f=f_0(v)+f_1$ ， $f_0$ 是均匀分布， $f_1$ 很小。只保留 $f_1$ 和电场的一阶项。 $E\,\partial f_1/\partial v$ 是二阶小量，可以略去，剩下一个线性方程，驱动它的是电场作用在背景分布的斜率上。

设模式 $f_1,E\propto e^{i(kx-\omega t)}$ 。Vlasov 方程用 $E$ 表出 $f_1$ ，泊松方程又把 $f_1$ 的密度变回 $E$ 。要有非零电场，介电函数必须为零。

f_1=\frac{i\,E\,f_0'(v)}{\omega-kv},\qquad \varepsilon(k,\omega)=1-\frac{1}{k^2}\int\frac{f_0'(v)}{v-\omega/k}\,dv=0

被积函数在电子速度等于波速 $v=\omega/k$ 处有极点。朗道指出，初值问题决定了怎样绕过它：从复 $\omega$ 平面的上半平面延拓积分，积分路径从极点下方经过。这样会多出一项，正比于波速处的斜率 $f_0^{\prime}$ 。

对麦克斯韦分布，这个积分用等离子体色散函数 $Z$ 表示。程序通过 Faddeeva 函数计算 $Z$ ，再用牛顿法找根。式中 $\zeta=\omega/(\sqrt2\,k)$ ；根落在下半平面，波就衰减。

\varepsilon(k,\omega)=1-\frac{1}{2k^2}\,Z'\!\left(\zeta\right),\qquad \zeta=\frac{\omega}{\sqrt2\,k},\qquad Z'(\zeta)=-2\left[1+\zeta Z(\zeta)\right]

完整例题

解 $\varepsilon=0$ ： $k=0.3$ 时 $\omega=1.1598-0.0126i$ ， $k=0.5$ 时 $1.4157-0.1534i$ ， $k=0.8$ 时 $1.7999-0.5346i$ 。短波衰减得快得多，因为它的相速度更接近热速度，能跟着波走的电子多得多。

Lab 只用电场的历史就测出同样的速率：在 $t=4$ 之后、非线性俘获或网格复现可能出现之前，对电场峰值的对数做直线拟合。拟合结果是 $-0.0127$ 、 $-0.1536$ 、 $-0.5358$ ，实部也吻合到 $0.2\%$ 以内。

长波时，一个简短的公式就能抓住大部分结果。 $k=0.5$ 时它给出 $\gamma\approx-0.151$ ，接近真根。它适合估算，不适合做对照：换个波数，误差会很快变大。

\gamma\approx-\sqrt{\frac{\pi}{8}}\;\frac{1}{k^3}\,\exp\!\left(-\frac{1}{2k^2}-\frac32\right)

阻尼率描述的是电场和密度，也就是对速度平均之后的量。分布本身并没有弛豫：能量离开电场，以越来越细的速度条纹留在电子里。这个速率还假定波一直很小。波强到能抓住它想交出能量的那些电子时，情况会变，见第 5 章。

带着问题动手

三个相空间 Lab 用等离子体单位求解一维电子模型，每个 Lab 都能导出参数、模型版本和电场历史。

展开答案与解释

衰减率 $0.5346$ ，时间为 $5/0.5346\approx9.4$ 个单位，比两个振荡周期（每个 $2\pi/1.80\approx3.5$ ）略长。

展开答案与解释

它是两个小量的乘积。电场强到能在衰减时间之内弯折电子轨道时，这一项就要紧了；第 5 章用弹跳时间来衡量这一点。

展开答案与解释

为正：斜率项变号，波转而增长。第 5 章用尾部鼓包检验这一点。

R. Fitzpatrick, Plasma Physics lecture notes, University of Texas at Austin: Landau damping, resonant particles and the plasma dispersion function
相连的三页推导麦克斯韦等离子体的线性响应、波速附近电子的作用，以及我们求介电根时用到的等离子体色散函数。
J. H. Malmberg and C. B. Wharton, Collisionless Damping of Electrostatic Plasma Waves, Physical Review Letters 13, 184 (1964)
在实验室里测量无碰撞的波衰减。只核对了书目信息，没有使用其中的数据；第 4 章的速率来自我们自己的介电根和模拟。