波的能量交给了谁，波又在什么时候抓住电子

跟着波一起跑

换到以波速 $v_\phi=\omega/k$ 运动的参考系，波变成一排静止的电势小山。比波稍慢的电子相对向后漂，被山坡往前推；比波稍快的被往后推。两组都向波速靠拢。

能量净流向哪边，要看两侧各有多少电子。麦克斯韦分布随速度下降，在 $v_\phi$ 处慢的比快的多。波推快慢电子要花能量，拉慢快电子能收回能量，前者更多。能量流的符号就是 $f_0^{\prime}(v_\phi)$ 的符号，正是第 4 章里那个斜率项。

推导

强波会困住共振电子

盒子里的驻波由两道行波叠成，每道的电场是驻波的一半，$E_w=E_0/2$。在一道行波的势阱底部，电子像弹簧上的小球一样振动，弹跳频率 $\omega_b=\sqrt{kE_w}$。离波速约 $2\sqrt{E_w/k}$ 以内的电子会被困住。

只有波在被困电子弹完一圈之前就衰减掉，即 $|\gamma|\gg\omega_b$，线性理论才成立。$\alpha=0.01$ 时，$E_w=0.01$，$\omega_b\approx0.071$，$|\gamma|/\omega_b\approx2.2$，仍是线性的。$\alpha=0.3$ 时，$E_w=0.3$，$\omega_b\approx0.39$，弹跳时间 $16.2$，$|\gamma|/\omega_b\approx0.4$。相空间图里被困电子打成旋转的涡，电场改成起伏着变化，早期拟合的速率是 $-0.30$，约为线性值 $-0.153$ 的两倍。

斜率反过来，波就长大

加入一小群快电子，鼓包中心在 $v=4.5$。麦克斯韦核心和鼓包之间，斜率为正。$k=0.3$ 的波速约 $3.34$，正落在这段斜坡上，根是 $1.0012+0.1981i$，波会增长；Lab 测得 $0.1967$。两束相向的电子（$\pm3$）给出不振荡的根，增长率 $0.2845$，Lab 测得 $0.2835$。

俘获追上增长时，增长就停了。鼓包运行在电场峰值处 $\omega_b/\gamma\approx1.4$，两束电子约 $1.2$，都是一的量级，这正是常说的“不稳定性靠俘获饱和”的经验判据。能量图告诉我们能量从哪里来：波长大时，鼓包一带的电子失去动能。