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Sandbox Physics
等离子体动理学 · 边学边做实验

L2 · 第 2 章

在相空间里同时跟住每一个电子

把每个电子画成平面上的一点：横坐标是位置，纵坐标是速度。整团点在这个平面里像流体一样流动，局部的点密度就是分布函数。没有碰撞时，这个密度沿着每个电子的轨道原样搬运。

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在“位置—速度”小格子里数电子

记 f(x,v,t) dx dvf(x,v,t)\,dx\,dv 为位置在 xx 到 x+dxx+dx、速度在 vv 到 v+dvv+dv 之间的电子数。对速度积分，就得到普通的密度 n(x,t)=∫f dvn(x,t)=\int f\,dv。课程里离子是固定背景，密度为 11；处处 n=1n = 1 时，等离子体呈电中性。

Lab 画的正是这个平面。颜色表示 ff 偏离均匀背景多少：一道暖色条纹，说明那个位置、那个速度上的电子比平均多一点。

推导

沿着轨道搬运密度

用等离子体单位，电子满足 dx/dt=vdx/dt = v、dv/dt=−Edv/dt = -E，负号来自电子带负电。没有碰撞，电子不生不灭；又因为 ∂v/∂x=0\partial v/\partial x = 0、∂E/∂v=0\partial E/\partial v = 0，这个平面上的流动散度为零。一小块电子云可以被拉长、折叠，面积和里面的电子数却不变，所以 ff 沿每条轨道保持不变。

用链式法则写出这句话，就是 Vlasov 方程。电场由离子背景与电子密度之差产生，这是高斯定律；有了它，两条方程互相给出对方需要的量。

∂f∂t+v∂f∂x−E∂f∂v=0,∂E∂x=1−∫f dv\frac{\partial f}{\partial t}+v\frac{\partial f}{\partial x}-E\frac{\partial f}{\partial v}=0,\qquad \frac{\partial E}{\partial x}=1-\int f\,dv

方程守住了什么

ff 只是被搬来搬去，所以任何形如 ∫ ⁣ ⁣∫G(f) dx dv\int\!\!\int G(f)\,dx\,dv 的积分都不变，包括电子数、f2f^2 之和，以及细粒熵 −∫ ⁣ ⁣∫fln⁡f dx dv-\int\!\!\int f\ln f\,dx\,dv。动量守恒，总能量也守恒：电子动能加上电场储存的能量。

这些是检验求解器的第一关。相空间 Lab 的默认运行用 32×25632\times256 网格、时间步长 0.10.1，跑 70 个时间单位：电子数的相对漂移低于 10−1410^{-14}，f2f^2 之和低于 10−1310^{-13}，总能量低于 10−610^{-6}。能量误差最大，因为把一步拆成位置平移和速度平移，只有时间步长的二阶精度。

W=∫ ⁣ ⁣∫v22 f dx dv+∫E22 dx=constantW=\int\!\!\int \frac{v^2}{2}\,f\,dx\,dv+\int \frac{E^2}{2}\,dx=\text{constant}

完整例题

例题：自由流动的波纹

关掉电场，从 f0=(1+αcos⁡kx)M(v)f_0=(1+\alpha\cos kx)M(v) 出发，M(v)=e−v2/2/2πM(v)=e^{-v^2/2}/\sqrt{2\pi} 是麦克斯韦分布。每个电子保持原速，于是 f(x,v,t)=f0(x−vt,v)f(x,v,t)=f_0(x-vt,v)。对速度积分，密度波纹就成了麦克斯韦分布的傅里叶变换。

密度波纹因此随时间按高斯形状缩小。k=0.5k=0.5 时，到 t=4t=4 只剩开始的 e−2≈0.135e^{-2}\approx0.135，到 t=8t=8 只剩 3.4×10−43.4\times10^{-4}。什么也没丢：ff 里仍完整保留着波纹，只是被斜拉成速度方向上的条纹。密度把许多正负相消的条纹平均掉了。

n(x,t)−1=αcos⁡(kx)∫M(v)cos⁡(kvt) dv=αcos⁡(kx) e−k2t2/2n(x,t)-1=\alpha\cos(kx)\int M(v)\cos(kvt)\,dv=\alpha\cos(kx)\,e^{-k^2t^2/2}

程序怎样推进这团电子

模拟把 ff 存在位置和速度的网格上。每一步先把每一行（同一速度）在位置方向平移 v Δtv\,\Delta t，再由密度算出新的电场，然后把每一列（同一位置）在速度方向平移 −E Δt-E\,\Delta t。两种平移都用傅里叶变换在网格上精确完成；按“半步平移、整步推动、半步平移”排列，误差保持在二阶。

只要速度方向的条纹比几个网格宽，这个方法就准确。条纹更细时会出什么事，见第 3 章。

带着问题动手

先预测，再改变，最后解释

  1. 关掉电场后，密度波纹会比开着电场时消得更快还是更慢？
  2. 先运行默认波纹，再运行“只有自由流动”预设，对照电场条和历史曲线。
  3. 解释对数坐标图上两条衰减曲线的形状：一条越弯越陡，另一条沿直线下降。
看波纹折成速度条纹

三个相空间 Lab 用等离子体单位求解一维电子模型，每个 Lab 都能导出参数、模型版本和电场历史。

试着自己解释

1. 证明自由流动解 f0(x−vt,v)f_0(x-vt,v) 满足 E=0E=0 时的 Vlasov 方程。

展开答案与解释

令 s=x−vts=x-vt，则 ∂f/∂t=−v ∂f0/∂s\partial f/\partial t = -v\,\partial f_0/\partial s，∂f/∂x=∂f0/∂s\partial f/\partial x = \partial f_0/\partial s，所以 ∂f/∂t+v ∂f/∂x=0\partial f/\partial t + v\,\partial f/\partial x = 0。

2. k=0.3k=0.3 的自由流动波纹，什么时候降到开始的 e−2e^{-2}？

展开答案与解释

令 k2t2/2=2k^2t^2/2=2，得 t=2/k≈6.7t=2/k\approx6.7。波越长，电子漂过一个波长要的时间越久，混合也就越慢。

3. 细粒熵 −∫ ⁣ ⁣∫fln⁡f-\int\!\!\int f\ln f 守恒，为什么不违反热力学第二定律？

展开答案与解释

它衡量的是完整的细粒分布，而细粒分布只是被搬动。任何把细条纹平均掉的测量，比如密度，都会看到波纹消失。碰撞或粗粒观测抹掉条纹时，才出现不可逆，见第 7 章。

可以放在旁边读的来源

  1. R. Fitzpatrick, Plasma Physics lecture notes, University of Texas at Austin: Landau damping, resonant particles and the plasma dispersion function

    相连的三页推导麦克斯韦等离子体的线性响应、波速附近电子的作用，以及我们求介电根时用到的等离子体色散函数。

  2. C. Z. Cheng and G. Knorr, The integration of the Vlasov equation in configuration space, Journal of Computational Physics 22, 330 (1976)

    把一步 Vlasov 推进拆成位置平移和速度平移，通常引用这篇论文，本站的求解器也这样做。只核对了书目信息，求解器靠精确极限和守恒律来检验。

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