怎样读第三轮观测的引力波透镜搜索

我们读的是这篇论文在 arXiv 上的第 1 版，日期为 2023 年 4 月 17 日：Search for gravitational-lensing signatures in the full third observing run of the LIGO–Virgo network。没有和期刊版本对照过。下文的章节、公式和图号都指这一版。读之前，先学完点质量透镜放大因子的精确解和匹配滤波那一章。

读的时候怎样给说法贴标签

阅读时把四种标签分开：

已发表结果。 合作组从数据里报告的测量或限制，比如某个具体事件的贝叶斯因子。
预印本。 只读过 arXiv 版本、或者只读了一部分的论文里的说法。
模型预测。 依赖于假设的透镜和源族群的数字，比如预期发生率。
未解决问题。 作者本人或他们引用的文献明说还没有弄清的事情。

标签描述的是一个说法背后的证据，不是它对不对。模型预测可以很好，已发表结果也可能日后修正。

搜索了哪些数据

第 2 节介绍事件目录。第三轮观测后半段在此前观测已报告的 55 个事件之外又增加了 35 个，全部来自第三版引力波暂现源目录 GWTC-3。下面每一项检验的起点，都是已经作为普通双星并合被探测到的事件。如果透镜化信号畸变得太厉害，常规搜索根本找不到，它也就不在这个样本里。

第 3 节：两个事件，一个源

星系造成的强透镜能让同一次并合产生好几个像，先后相隔几分钟到几个月。式 1 给每个像乘上因子 $\sqrt{\lvert\mu_j\rvert}\,e^{-i\pi n_j}$ ，第一、二、三类像分别取 $n_j=0$ 、 $\tfrac12$ 、1。这就是我们在放大因子那一章里见过的鞍点 $-i$ ，叫 Morse 相位。

这一节的所有内容都受两种简并支配，论文明确写出了这两点：

放大率 $\mu$ 让信号看起来像距离为 $D/\sqrt\mu$ 的无透镜源；延迟看起来就是另一个并合时刻。单看一个像，两者都测不出来。
第三类像的相位是 $-\pi$ ，等同于把双星的偏振角转 $\pi/2$ ，所以单看一个像也看不出来。

检验只能拿两个事件成对比较。建议按这个顺序读：

图 1，快速筛选事件对。 两种快速统计量，一种看两个事件参数后验的重叠程度，一种用机器学习，为每一对事件给出假阳性概率。低于 $10^{-2}$ 的事件对进入后续分析。
图 2，17 对的联合分析。 用 hanabi 流程做完整联合拟合，为每一对给出透镜与非透镜的贝叶斯因子，全部小于 1。最高的一对是 GW190620_030421 和 GW200216_220804，在论文的基准并合率模型下，证据仍以约 100 比 1 反对透镜。
表 1，较弱的伴随信号。 针对已知事件，用缩减的模板库和天区重叠否决去找更弱的对应信号，表 1 列出排名前五的候选。前两名越过了每 69 年一次的误报率门槛，接着用 golum 流程做联合分析，两者的相干比都略为负值，都不支持透镜。论文特别指出，这里的误报率只说明噪声有多常排到这么高，不说明一个触发是透镜对应信号的可能性。
图 3，单个第二类像。 三类像中只有第二类会让单个像的波形变形，所以可以逐个事件检验。对 GW190412，论文给出第二类对第一类的 $\log_{10}B=0.60\pm0.16$ ，对第三类为 $0.22\pm0.16$ ；对 GW200129_065458 分别是 $0.38\pm0.14$ 和 $0.24\pm0.14$ 。模拟显示 GW190412 的高阶谐波功率足以检验这个假设，但它的偏好可能来自波形建模的系统误差，尽管换用另外两种波形族后偏好依然存在。GW200129_065458 没有足够的功率，而且可能有一个正在被扣除的显著突发干扰。作者的结论是，这项分析对两个事件都下不了定论。

状态：已发表结果，读的是 arXiv 版本。附录 A 的图 7 到图 9 介绍了确定门槛所用的模拟，我们只读到能辨认它包含什么的程度。

第 4 节：微透镜，也就是这门课的主题

式 2 就是前面每一章一路推到的模型：

h_{\rm Micro}(f)=h_{\rm U}(f)\,F(f;M_{Lz},y),

其中 $h_{\rm U}$ 是无透镜波形， $F$ 是孤立点质量的放大因子。论文称孤立点质量是第一步近似。读这一节时看四处：

先验。 $M_{Lz}$ 在 1 到 $10^5\,M_\odot$ 之间取对数均匀， $p(y)\propto y$ ，范围 $[0.1,3]$ 。这个 $y$ 先验意味着大部分先验体积对应很弱的第二个像，而这正是我们教程里最难和噪声区分的情形。
波形。 无透镜模型是 IMRPhenomXPHM，包含进动和高阶谐波，用 bilby 和 dynesty 采样。和我们的实验不同，这里的无透镜拟合可以调整质量和自旋，吸收一部分透镜图样。
质量范围。 论文预期对直到约 $10^5\,M_\odot$ 的透镜都可能看到效应。
图 4。 每个事件的贝叶斯因子 $\log_{10}B^{\rm Micro}_{\rm U}$ ，与模拟无透镜信号的同一统计量画在一起。真实事件落在模拟的分布范围之内。作者认为没有令人信服的微透镜证据。

状态：已发表结果。图 4 相当于我们教程里纯噪声那一行：不知道无透镜信号会给出什么值，透镜统计量就没有意义。

附录 B：噪声造出的拍频

图 10 列出第三轮观测后半段每个事件的 $M_{Lz}$ 后验和贝叶斯因子。有几个事件的透镜质量后验很窄，论文举的例子是 GW200208_130117， $\log_{10}B=0.8$ 。图 11 是它的最佳拟合波形，透镜表现为信号中段连续两个周期幅度降低。作者推测，短时噪声起伏造成了一个表观凹陷，看起来像拍频图样，并认为数据对微透镜假设没有定论。

状态：贝叶斯因子是已发表结果；噪声解释是作者的推测。可以对照我们的教程：120 次纯噪声试验中有 14 次越过透镜门槛，最大的一次偏好 $1150\,M_\odot$ 的透镜。

第 5 节：透镜应该多常见

第 5.1 节和表 2 给出两个像都被探测到的透镜双像事件相对于无透镜事件的发生率，取 90% 区间：星系透镜为 $1.9$ 到 $11.0\times10^{-4}$ ，星系团透镜为 $0.8$ 到 $4.4\times10^{-4}$ 。作者的结论是，以目前灵敏度很难观测到透镜双像。乘上约 90 个目录事件，预期最多约 0.1 对，这是我们自己的算术，所以零结果正是模型的预期。

状态：模型预测。这些区间来自假设的透镜和双星族群。

星系里的微透镜：未解决的问题

大多数可能对引力波产生微透镜的恒星都在某个星系里，所以孤立点质量很少是故事的全部。Cheung、Gais、Hannuksela 和 Li 研究了这种情形：Stellar-mass microlensing of gravitational waves。我们读了 arXiv 第 1 版的摘要和第 1 到第 3 节的部分内容，没有读全文。就读到的部分而言：

他们考虑的是透镜星系核心星团里的恒星。
在 LIGO 频段，质量低于约 $100\,M_\odot$ 的微透镜必须考虑衍射。
宿主星系会在性质上改变透镜构型，所以涉及强透镜时，微透镜不能当成孤立点质量处理。
对约一个太阳质量的恒星，衍射会明显压低微透镜放大。作者据此认为，被典型星系透镜化的引力波可能基本不受恒星的污染。
更复杂的微透镜构型还需要进一步研究。

状态：按我们读到的程度算预印本，并且包含作者明说的未解决问题。O3 微透镜搜索和我们的实验都用孤立点透镜，它是这个大问题里最简单的情形。

我们复现了什么，没有复现什么

我们没有复现 O3 论文的任何一张图或任何一个数字。我们的复算指南用两条独立路线重算式 2 里的点透镜 $F$ ，并用最低阶啁啾在合成高斯噪声里跑了一个玩具搜索。它和第 4 节物理相同，但数据、波形模型和采样器都不同。

读透镜论断时的核对清单

你读的是哪个版本？哪些章节读了全文？
透镜模型是孤立点质量，还是位于星系中的透镜？
无透镜模型能否通过距离、并合时刻、偏振、质量或自旋吸收这个效应？
透镜统计量是否像图 4 那样，和无透镜信号与噪声给出的值做了比较？
对这个事件，突发干扰及其扣除检查过了吗？
每个数字属于已发表结果、预印本说法、模型预测，还是未解决问题？