探测器分得清透镜化的啁啾吗

这一章以点质量透镜放大因子的精确解为前提。你还需要会最小二乘拟合和复数内积，并且知道探测器噪声是随机的、频谱已知。

噪声与内积

探测器噪声用单边功率谱密度 $S_n(f)$ 描述，单位是 $1/\mathrm{Hz}$ ，表示单位频率内的噪声功率。比较两个信号时，用按噪声加权的内积：

\langle a,b\rangle=4\,\mathrm{Re}\int_{f_{\rm low}}^{f_{\rm high}}\frac{\tilde a^*(f)\,\tilde b(f)}{S_n(f)}\,\mathrm df,

探测器安静的频段权重更大。信号 $h$ 的最优信噪比是 $\rho=\sqrt{\langle h,h\rangle}$ 。这里用 Ajith（2011）式 (4.3) 的写法，噪声取他在式 (4.7) 给出的 Advanced LIGO 设计曲线拟合， $f_{\rm low}=20$ Hz。这是设计曲线，不是任何一轮观测的实测噪声。Ajith 2011，第 IV 节

啁啾信号

两个各 $10\,M_\odot$ 的黑洞绕转靠拢。按稳相近似取最低阶，频域信号是

\tilde h(f)=\mathcal A\,f^{-7/6}\,e^{i\Psi(f)},\qquad \Psi(f)=2\pi f t_c-\phi_c-\frac\pi4+\frac{3}{128}\bigl(\pi\mathcal M_c f\bigr)^{-5/3},

其中 $\mathcal A$ 是常数幅度， $\mathcal M_c=(m_1m_2)^{3/5}/(m_1+m_2)^{1/5}$ 是啁啾质量，乘以 $G/c^3$ 换成秒。这是 Cutler 和 Flanagan 式 (41)、(42) 的首项。Cutler 和 Flanagan 1994，第 III 节

算例。 $10+10\,M_\odot$ 给出 $\mathcal M_c=8.71\,M_\odot$ 。信号截止在最内稳定圆轨道，总质量 $M=20\,M_\odot$ 时 $f_{\rm ISCO}=c^3/(6^{3/2}\pi GM)=219.9$ Hz。从 20 Hz 到并合的时间是 $(5/256)\,\mathcal M_c^{-5/3}(\pi f)^{-8/3}=5.96$ s。这里没有并合和铃宕，只适合用来教学。

匹配度：两段啁啾有多像

透镜把信号乘上 $F(f)$ 。把透镜化啁啾 $h_{\rm L}=F\,h$ 和无透镜啁啾 $h_{\rm U}=h$ 用匹配度来比较：

\mathrm{match}=\max_{t_0,\phi_0}\frac{\langle h_{\rm L},\,h_{\rm U}e^{2\pi i f t_0+i\phi_0}\rangle}{\sqrt{\langle h_{\rm L},h_{\rm L}\rangle\langle h_{\rm U},h_{\rm U}\rangle}} .

对到达时间 $t_0$ 和相位 $\phi_0$ 取最大，就是让无透镜啁啾尽量平移、转动去贴合。匹配度为 1，说明透镜只改变了整体幅度和时间；小于 1，说明形状变了。实际计算时，一次快速傅里叶变换就能同时给出所有 $t_0$ 处的重叠。

从匹配度到证据

假设数据恰好就是透镜化信号，没有噪声。用幅度 $A$ 可调的无透镜模板去拟合，先移到最佳位置，残差平方是

\chi^2(A)=\langle h_{\rm L}-A\hat h_{\rm U},\,h_{\rm L}-A\hat h_{\rm U}\rangle,\qquad \hat h_{\rm U}=h_{\rm U}/\sqrt{\langle h_{\rm U},h_{\rm U}\rangle}.

它在 $A=\langle h_{\rm L},\hat h_{\rm U}\rangle=\rho_{\rm L}\,\mathrm{match}$ 处最小，残差为 $\rho_{\rm L}^2-\rho_{\rm L}^2\mathrm{match}^2$ 。透镜模板能完全拟合，残差为零。于是

\Delta\chi^2=\rho_{\rm L}^2\bigl(1-\mathrm{match}^2\bigr),\qquad \Delta\ln L=\tfrac12\Delta\chi^2 .

实验里把 $\Delta\chi^2$ 叫作透镜特征强度。它和 $\rho_{\rm L}^2$ 成正比，信噪比减半，它就变成四分之一。

实验预设的数值

下表都取无透镜信噪比 20，黑洞为 $10+10\,M_\odot$ 。透镜会放大信号，所以 $\rho_{\rm L}$ 不等于 20。

**表 4.1** 无透镜信噪比为 20 时的实验预设。透镜质量以太阳质量为单位；透镜特征强度是无噪声时的 $\Delta\chi^2$ 。
预设	透镜质量	y	延迟	第二份相对幅度	匹配度	透镜特征强度
两条路，条纹清楚	1000	0.5	19.9 ms	0.61	0.840	230
波太长，分不开	15	0.5	0.30 ms	0.61	0.998	2.4
几乎对准时的汇聚	100	0.08	0.32 ms	0.92	0.974	63.7
很弱的第二份副本	1000	2	90.5 ms	0.17	0.986	12.1
密集条纹	1500	1.2	75.0 ms	0.32	0.952	45.6

最值得看的是两行。前两行的第二份信号一样响，但 $15\,M_\odot$ 的透镜处在波动区，条纹根本形成不了，匹配度停在 0.998。很弱的那份延迟最长，特征强度却只比长波那一行大，因为 17% 的回声几乎改变不了波形的形状。

噪声会做什么

真实数据里有噪声，两个最佳拟合都会顺带拟合一部分噪声。透镜模板族多了两个参数，透镜质量和 $y$ ，还能试很多种条纹相位，所以总会小胜一点。到底胜多少，复算指南把啁啾注入按同一条设计曲线生成的高斯噪声，再做模板搜索。无透镜信噪比为 20 时， $\Delta\ln L$ 的结果如下：

没有透镜，120 次试验：中位数 2.49，第 90 百分位 4.35，最大 7.97。门槛取 4 时，11.7% 的试验越过门槛。
两条路， $y=0.5$ ，20 次试验：中位数 110.2，无噪声时是 115.2，每次都越过门槛。
很弱的第二份， $y=2$ ，40 次试验：中位数 4.27，无噪声时是 6.03，正好是表里 12.1 的一半，只有 52.5% 越过门槛。

弱像和纯噪声的分布重叠在一起。门槛放低，会多抓到弱像，也会多抓到噪声；门槛抬高，两者一起丢。真正的出路只有信号更响。

为什么实验里的数值偏乐观

实验让无透镜模板保持真实的黑洞质量，只做平移和转动。真实搜索还会改变质量、自旋和并合部分，透镜造成的一部分起伏可能就这样被吸收掉。真实噪声里还有短促的突发干扰。在 LIGO–Virgo–KAGRA 第三轮观测中，事件 GW200208_130117 对微透镜波形有轻微偏好，作者认为可能是一次短时噪声起伏造成了一个凹陷，看起来像拍频图样。LIGO–Virgo–KAGRA 2023，附录 B 孤立点透镜也只是第一步近似。大多数恒星级质量的透镜都位于某个星系里，星系自身的引力场会改变条纹图样。论文阅读指南会沿着已发表的搜索把这些问题逐一看过去。

实验任务

在引力波透镜实验里从“两条路，条纹清楚”出发，打开“源双星与信噪比”，把无透镜信噪比从 20 减到 10，检查透镜特征强度是否变成四分之一。
选“很弱的第二份副本”，在“源双星与信噪比”里逐步提高无透镜信噪比，直到透镜特征强度超过 16，也就是教程里纯噪声最大 $\Delta\ln L$ 的两倍。记下这时的信噪比。
在同一组里增大两个黑洞的质量。观察放大因子图上的频带上限向左移动，并解释透镜特征强度为什么随之变化。

练习

求 $15+15\,M_\odot$ 的啁啾质量和截止频率。
对 $\chi^2(A)$ 求最小值，推出 $\Delta\chi^2=\rho_{\rm L}^2(1-\mathrm{match}^2)$ 。
很弱的第二份在无透镜信噪比 20 时给出 $\Delta\chi^2=12.1$ 。不考虑噪声，信噪比多大时它能达到 16？
“两条路”预设的延迟比弱像短，特征强度却大得多。用幅度比解释原因。

答案

等质量时 $\mathcal M_c=m\,2^{-1/5}$ ，所以 $\mathcal M_c=13.06\,M_\odot$ 。截止频率与 $1/M$ 成正比： $219.9\times20/30=146.6$ Hz。
$\chi^2(A)=\rho_{\rm L}^2-2A\langle h_{\rm L},\hat h_{\rm U}\rangle+A^2$ 。令导数为零得 $A=\langle h_{\rm L},\hat h_{\rm U}\rangle=\rho_{\rm L}\mathrm{match}$ ，代回去剩下 $\rho_{\rm L}^2(1-\mathrm{match}^2)$ 。
$\Delta\chi^2$ 与信噪比的平方成正比，所以是 $20\sqrt{16/12.1}=23$ 。
条纹深浅由两份信号的幅度比决定。以第一份为基准，“两条路”时模在 $1-0.61=0.39$ 和 $1.61$ 之间摆动，形状变化很大。幅度比为 0.17 时只在 0.83 和 1.17 之间摆动，无透镜啁啾几乎都能吸收。延迟更长只会让条纹排得更密。

下一章：复算点透镜放大因子，再检验一次透镜搜索。