点质量透镜放大因子的精确解

这一章接着透镜为什么让引力波晚到往下讲。你需要会用复指数、高斯积分 $\int_{-\infty}^{\infty}e^{i a u^2/2}\,\mathrm du=\sqrt{2\pi/|a|}\,e^{i\pi\,\mathrm{sgn}(a)/4}$ ，并且知道傅里叶变换是什么。

把所有路径加起来

按惠更斯原理，透镜平面上每一点都重新发出波。经过点 $x$ 的路径晚到 $t_d(x)$ ，在频率 $f$ 上贡献相位 $e^{2\pi i f t_d(x)}$ 。把所有点等权相加，再除以没有透镜时的同一个和，就得到放大因子。用上一章的无量纲变量写：

F(w,y)=\frac{w}{2\pi i}\int \mathrm d^2x\;\exp\bigl[i\,w\,T(x,y)\bigr],

其中 $w=8\pi GM_{Lz}f/c^3$ ， $T=\tfrac12|x-y|^2-\ln|x|-\phi_m(y)$ 。这就是 2003 年论文的式 (11)，只是换成了 $w$ 和 $T$ 。Takahashi 和 Nakamura 2003，第 2 节

这个公式里藏着两个约定。

归一化。 没有透镜时 $T=\tfrac12|x-y|^2$ ，两个高斯积分给出 $2\pi i/w$ ，前面的系数正好把它消掉，所以 $F=1$ 。凡是偏离 1 的部分，都来自透镜。
相位的符号。 应变的傅里叶变换取 $\tilde h(f)=\int h(t)\,e^{+2\pi i f t}\,\mathrm dt$ ，这是 Cutler 和 Flanagan 用的约定。信号晚到 $\Delta t$ ，频谱就乘上 $e^{+2\pi i f\Delta t}$ ，所以上式指数是 $+iwT$ 。透镜化后的频谱是 $\tilde h_{\rm L}(f)=F(f)\,\tilde h(f)$ 。Cutler 和 Flanagan 1994，式 20

两个像从积分里回来

$w$ 很大时， $e^{iwT}$ 振荡极快，积分的绝大部分互相抵消，只剩下 $T$ 取驻值的那些点附近。在这样一点 $x_j$ 附近，沿两个主方向把 $T$ 展开到二阶：

T\approx T_j+\tfrac12\lambda_1u_1^2+\tfrac12\lambda_2u_2^2 .

每个方向都是一个高斯积分，等于 $\sqrt{2\pi/(w|\lambda|)}\,e^{i\pi\,\mathrm{sgn}(\lambda)/4}$ 。两者相乘，再乘上系数 $w/(2\pi i)=(w/2\pi)\,e^{-i\pi/2}$ ，得到

F_j=\frac{1}{\sqrt{|\lambda_1\lambda_2|}}\;e^{iwT_j}\;e^{\,i\pi(\mathrm{sgn}\lambda_1+\mathrm{sgn}\lambda_2-2)/4}.

$\lambda_1\lambda_2$ 是 $T$ 的二阶导数矩阵的行列式，它的倒数就是放大率 $\mu_j$ 。最后一个因子只取决于驻点的类型：极小值处为 1，鞍点处为 $e^{-i\pi/2}=-i$ ，极大值处为 $-1$ 。这就是 2003 年论文的式 (15)：

F_{\rm geo}=\sum_j|\mu_j|^{1/2}\exp\bigl(2\pi i f\,t_{d,j}-i\pi n_j\bigr),\qquad n_j=0,\ \tfrac12,\ 1.

LIGO–Virgo–KAGRA 透镜搜索的式 1 里也是这个相位， $n_j$ 在那里叫 Morse 指数。LIGO–Virgo–KAGRA 2023，第 3 节

点透镜只有一个极小值和一个鞍点，没有极大值。取第一个像在 $T=0$ ：

F_{\rm geo}=|\mu_+|^{1/2}-i\,|\mu_-|^{1/2}\,e^{2\pi i f\Delta t_d},

即 2003 年论文的式 (18)。

频率上的条纹

对模取平方。记 $a=|\mu_+|^{1/2}$ ， $b=|\mu_-|^{1/2}$ ， $\varphi=2\pi f\Delta t_d$ ：

|F_{\rm geo}|^2=\mu_++|\mu_-|+2\sqrt{\mu_+|\mu_-|}\,\sin\varphi .

模在 $a-b$ 和 $a+b$ 之间来回摆动，摆一个来回需要 $\Delta f=1/\Delta t_d$ 。鞍点的 $-i$ 把峰的位置挪了：峰落在 $\sin\varphi=1$ 处，和两份同相信号相加的位置差四分之一周期。

算例。 $y=0.5$ 时 $\mu_+=1.591$ ， $|\mu_-|=0.591$ ，所以 $a=1.261$ ， $b=0.769$ ，模在 0.49 和 2.03 之间变化。取 $M_{Lz}=1000\,M_\odot$ ，延迟为 19.9 ms，峰每隔 50 Hz 出现一次。

精确公式

孤立点质量的这个积分有闭式解。2003 年论文引用了这个结果，并注明出自 Peters（1974）：

F(w,y)=\exp\Bigl[\frac{\pi w}{4}+\frac{iw}{2}\Bigl(\ln\frac w2-2\phi_m(y)\Bigr)\Bigr]\;\Gamma\Bigl(1-\frac{iw}{2}\Bigr)\;{}_1F_1\Bigl(\frac{iw}{2},1;\frac{iwy^2}{2}\Bigr),

其中 $\phi_m(y)=(x_m-y)^2/2-\ln x_m$ ， $x_m=(y+\sqrt{y^2+4})/2$ ； $\Gamma$ 是伽马函数， ${}_1F_1$ 是合流超几何函数。这是 2003 年论文的式 (17)。我们没有直接照搬：复算指南用另一条不依赖闭式解的路线重新算这个积分，在 20 个测试点上实部和虚部都与它相差不到 $4.2\times10^{-4}$ 。

关于一个符号。论文式 (12) 在 $T$ 里印的是 $+\phi_m(y)$ ，正文却说 $\phi_m$ 取成让最早到达时刻为零。只有按“最小值为零”取 $-\phi_m$ ，印出来的式 (17) 才和数值积分一致，我们用的就是这个取法。这里只记录记号上的观察，不声称论文有错。

长波：放大因子为什么趋于 1

$w$ 很小时，把每个因子展开到一阶。 $\Gamma(1+\epsilon)\approx1-\gamma\epsilon$ ，其中欧拉常数 $\gamma=0.5772$ ，所以 $\Gamma(1-iw/2)\approx1+i\gamma w/2$ 。超几何因子是 $1+(iw/2)(iwy^2/2)+\dots$ ，和 1 的差到 $w^2$ 阶才出现。合起来：

F\approx1+\frac{\pi w}{4}+\frac{iw}{2}\Bigl[\ln\frac w2+\gamma-2\phi_m(y)\Bigr].

模的首阶变化是 $|F|\approx1+\pi w/4$ ，对所有 $y$ 都一样。比波长小得多的透镜成不了像，只会让振幅略微升高，再加上一点缓慢的相位漂移。

算例。 $15\,M_\odot$ 的透镜在 $f=20$ Hz 处 $w=1.24\times10^{-4}\times15\times20=0.037$ ，所以 $|F|\approx1+0.029=1.029$ 。 $y=0.5$ 时精确公式给出 1.029，两像公式却给出 1.50。按 $|F|-1$ 算，光线光学把效应夸大了约 17 倍。

短波：逐渐接近两个像

$w$ 很大时，精确的 $F$ 趋向 $F_{\rm geo}$ ，趋近的快慢取决于 $y$ 。在我们的参考计算里， $y=1$ 时相对差从 $w=30$ 的 $2.6\times10^{-3}$ 降到 $w=1000$ 的 $2.6\times10^{-5}$ 。 $y=0.3$ 时， $w=30$ 处是 $3.1\times10^{-2}$ ，往下降的过程也不单调： $w=100$ 处 $6.5\times10^{-3}$ ， $w=300$ 处反而是 $8.7\times10^{-3}$ 。剩余的差本身随频率振荡，只比一个点很容易看走眼。 $y$ 小意味着源几乎对准，鞍点像离透镜很近，衍射在那里持续得最久。

算例。 取 $M_{Lz}=1000\,M_\odot$ ， $y=0.5$ 。在 20 Hz（ $w=2.5$ ），精确值和两像值分别是 1.825 和 1.828；在 100 Hz（ $w=12.4$ ），分别是 1.411 和 1.438。某个频率上对得很准，只是碰巧落在条纹的合适相位上：在 31.5 Hz，也就是第一个条纹谷底附近，两者是 0.961 和 0.891。

实验任务

在引力波透镜实验里选“波太长，分不开”预设。读出放大因子图左端的实线和虚线，再用显示的透镜质量算出 $w$ ，检验 $1+\pi w/4$ 。
选“两条路，条纹清楚”预设，数一数 50 到 200 Hz 之间有几个条纹，和 $150\,\mathrm{Hz}\times\Delta t_d$ 对比。
把透镜拖向 $y=0.1$ ，观察相位图。两条曲线从哪里开始分开？为什么小 $y$ 时先分开？

练习

证明没有透镜时，系数 $w/(2\pi i)$ 让 $F=1$ 。
用两个一维高斯积分推出鞍点的相位因子 $-i$ 。
取 $y=1$ ， $M_{Lz}=500\,M_\odot$ ，求 $|F_{\rm geo}|$ 的变化范围和条纹间隔。
用低频公式估计 $y=1$ 、 $w=0.1$ 时的 $F$ 。精确值是 $1.0722-0.0989i$ 。剩下的差来自哪里？

答案

$\int e^{iw|u|^2/2}\,\mathrm d^2u$ 是 $\sqrt{2\pi/w}\,e^{i\pi/4}$ 的平方，即 $(2\pi/w)\,e^{i\pi/2}=2\pi i/w$ ，乘上 $w/(2\pi i)$ 得 1。
鞍点处 $\mathrm{sgn}\lambda_1+\mathrm{sgn}\lambda_2=0$ 。两个高斯相位抵消， $e^{i\pi/4}e^{-i\pi/4}=1$ ，系数贡献 $1/i=-i$ 。
由 $\mu_\pm=\tfrac12\pm3/(2\sqrt5)$ 得 $\mu_+=1.171$ ， $|\mu_-|=0.171$ ，所以 $a=1.082$ ， $b=0.413$ ， $|F_{\rm geo}|$ 在 0.67 到 1.50 之间。延迟公式的方括号是 $1.118+0.962=2.080$ ；时间单位 $500\times19.7\,\mu\mathrm s=9.85\,\mathrm{ms}$ ，所以 $\Delta t_d=20.5$ ms，条纹相隔 49 Hz。
$x_m=1.618$ ，所以 $\phi_m=0.191-0.481=-0.290$ 。方括号是 $\ln0.05+0.577+0.580=-1.839$ ，得 $F\approx1.0785-0.0919i$ 。实部差 0.006，虚部差 0.007，都是二阶效应：指数函数的二阶项是 $-0.0047-0.0095i$ ， $\Gamma$ 的二阶项是 $-0.0025$ ，超几何项 $-w^2y^2/4$ 是 $-0.0025$ ，其余来自一阶项之间的乘积。

下一章：探测器分得清透镜化的啁啾吗。