透镜为什么让引力波晚到

读这一章之前，先读同一段啁啾走了两条路，探测器听到什么。你需要会用小角度近似、勾股定理和自然对数，并且知道频率为 $f$ 的波在时间 $t$ 里相位前进 $2\pi f\,t$ 。

先摆好几何

把观测者放在原点。透镜是一个点质量 $M$ ，距离为 $D_{\rm L}$ ；源平面距离为 $D_{\rm S}$ ，透镜到源的距离为 $D_{\rm LS}$ 。角度都从观测者量起：源偏离透镜的角度是 $\beta$ ，一条候选路径穿过透镜平面时的角度是 $\theta$ 。这些角度极小，最多百万分之几弧度，所以 $\sin\theta\approx\theta$ ， $\cos\theta\approx1-\theta^2/2$ 。

在平直空间里取 $D_{\rm S}=D_{\rm L}+D_{\rm LS}$ ，比较弯折路径和直线路径。观测者到透镜平面这一段长 $\sqrt{D_{\rm L}^2+D_{\rm L}^2\theta^2}\approx D_{\rm L}(1+\theta^2/2)$ ，第二段和直线路径同样处理。三段相加化简，多出来的长度是

\Delta\ell_{\rm geom}=\frac{D_{\rm L}D_{\rm S}}{2D_{\rm LS}}\,(\theta-\beta)^2 .

代数留作练习 1。在膨胀宇宙里，这个形式照样成立，只要把距离换成角直径距离，所有时间再乘上透镜红移带来的因子 $1+z_{\rm L}$ 。Wave effects in gravitational lensing of gravitational waves from chirping binaries，第 2 节

再加上引力势里耗掉的时间

靠近质量的地方时钟走得慢。波在离质量 $\xi=D_{\rm L}\theta$ 处穿过透镜平面， $\xi$ 越小，耽搁越多。对点质量，这项引力延迟（也叫 Shapiro 延迟）等于 $-(4GM/c^3)\ln\xi$ ，再加一个对所有路径都相同的常数。负号表示路径离质量越近，损失的时间越多。

用爱因斯坦半径量长度

有两个尺度能让公式变得干净。爱因斯坦角

\theta_{\rm E}^2=\frac{4GM}{c^2}\,\frac{D_{\rm LS}}{D_{\rm L}D_{\rm S}}

是源与透镜完全对准时形成的光环半径。记 $x=\theta/\theta_{\rm E}$ ， $y=\beta/\theta_{\rm E}$ ； $y$ 叫碰撞参数，就是以爱因斯坦半径为单位的源偏移。代进去以后，几何项变成 $(4GM/c^3)\cdot\tfrac12|x-y|^2$ ，两项用的是同一个时间单位。用红移后的质量 $M_{Lz}=M(1+z_{\rm L})$ ，到达时间写成

t_d(x)=\frac{4GM_{Lz}}{c^3}\,T(x,y),\qquad T(x,y)=\tfrac12|x-y|^2-\ln|x|-\phi_m(y).

常数 $\phi_m(y)$ 取成让最早到达的时刻恰好是 $T=0$ 。2003 年那篇论文用文字说明了这个约定。论文式 (12) 在 $\phi_m$ 前面印着加号，可闭式解式 (17) 和我们独立算出的数值积分，都按“最小值为零”来取。时间单位 $4GM_{Lz}/c^3$ 每个太阳质量对应 19.7 微秒。

找出两个像

按费马原理，波在到达时间取驻值的地方相干叠加：路径稍微变一点， $T$ 在一阶上不变。沿透镜和源的连线令 $\partial T/\partial x=0$ ：

x-y-\frac1x=0\quad\Rightarrow\quad x_\pm=\frac{y\pm\sqrt{y^2+4}}{2}.

根 $x_+>1$ 在源的同一侧，落在爱因斯坦环外面，是 $T$ 的最小值，也就是第一个像。根 $x_-<0$ 在另一侧，落在环里面；那里 $T$ 沿一个方向上升、沿另一个方向下降，是鞍点，也就是第二个像。

像变亮多少，用放大率 $\mu$ 表示，它等于像的面积除以源的面积。对圆对称的透镜， $\mu^{-1}=(y/x)\,(\mathrm dy/\mathrm dx)$ 。由 $y=x-1/x$ 得

\mu^{-1}=\Bigl(1-\frac1{x^2}\Bigr)\Bigl(1+\frac1{x^2}\Bigr)=1-\frac1{x^4},\qquad \mu_\pm=\frac12\pm\frac{y^2+2}{2y\sqrt{y^2+4}} .

鞍点像的 $\mu_-<0$ ，说明这个像是翻转的。还有一个关系对任何 $y$ 都成立： $\mu_+-|\mu_-|=1$ 。

两个像之间的延迟

把 $T$ 在两个根处的值相减：

\Delta t_d=\frac{4GM_{Lz}}{c^3}\left[\frac{y\sqrt{y^2+4}}{2}+\ln\frac{\sqrt{y^2+4}+y}{\sqrt{y^2+4}-y}\right].

这就是 2003 年论文在式 (18) 旁边给出的延迟。它随 $y$ 增大：源偏得越远，延迟越长，第二个像越暗。

算例。 取 $M_{Lz}=1000\,M_\odot$ ， $y=0.5$ 。时间单位是 $1000\times19.7\,\mu\mathrm s=19.7\,\mathrm{ms}$ 。方括号等于 $0.5\times2.062/2+\ln(2.562/1.562)=0.515+0.495=1.010$ ，所以 $\Delta t_d=19.9\,\mathrm{ms}$ 。放大率 $\mu_+=1.59$ ， $\mu_-=-0.59$ ，两份信号的幅度比是 $\sqrt{0.59/1.59}=0.61$ 。频率上的条纹间隔约为 $1/\Delta t_d\approx50\,\mathrm{Hz}$ 。

什么时候“光线”这幅图不再成立

只有波能分辨出两条路，像才存在。两条路之间的相位差是 $2\pi f\,\Delta t_d$ 。定义无量纲频率

w=\frac{8\pi GM_{Lz}f}{c^3}=4\pi\,\frac{R_{\rm s}}{\lambda},

其中 $R_{\rm s}=2GM_{Lz}/c^2$ 是透镜的施瓦西半径， $\lambda=c/f$ 是波长。两个像的相位差等于 $w$ 乘以上面那个方括号。 $w\gg1$ 时，到达时间曲面有许多个波长深，两个像界限分明。 $w\lesssim1$ 时，爱因斯坦半径以内各处的到达时间相差不到大约一弧度的相位，波会绕过质量，而不是分成两路。下一章把这件事写成精确公式。

算例。 在 $f=100\,\mathrm{Hz}$ ，由 $w=1.24\times10^{-4}\,(M_{Lz}/M_\odot)(f/1\,\mathrm{Hz})$ ， $1000\,M_\odot$ 的透镜给出 $w=12.4$ ， $15\,M_\odot$ 的透镜给出 $w=0.19$ 。同样的几何，前者处在光线区，后者处在波动区。

实验任务

先预测：在引力波透镜实验里把透镜从 $y=2$ 拖到 $y=0.1$ ，延迟会怎样变化。然后拖动，读出延迟。
保持 $y=0.5$ ，把透镜质量从 1000 改成 100 个太阳质量。看放大因子曲线之前，先预测新的条纹间隔。
在 $y=1$ 处，把“第二份副本的相对幅度”读数和上面公式给出的 $\sqrt{|\mu_-|/\mu_+}$ 对比。

练习

用三段勾股路径长度推出几何多出来的长度，利用 $D_{\rm S}=D_{\rm L}+D_{\rm LS}$ 。
证明对任何 $y>0$ 都有 $\mu_+-|\mu_-|=1$ 。
取 $M_{Lz}=1500\,M_\odot$ ， $y=1.2$ ，算出 $\Delta t_d$ 和条纹间隔。
一个 $30\,M_\odot$ 的透镜位于 $y=0.3$ 。频率高于多少时 $w>1$ ？

答案

三段分别给出 $D_{\rm L}\theta^2/2$ 、 $(D_{\rm S}\beta-D_{\rm L}\theta)^2/(2D_{\rm LS})$ 和 $-D_{\rm S}\beta^2/2$ 。通分到 $2D_{\rm LS}$ ，用 $D_{\rm L}+D_{\rm LS}=D_{\rm S}$ 合并，得到 $D_{\rm L}D_{\rm S}(\theta^2-2\theta\beta+\beta^2)$ 。
因为 $\mu_-<0$ ， $\mu_+-|\mu_-|=\mu_++\mu_-$ ；两项 $\pm(y^2+2)/(2y\sqrt{y^2+4})$ 相互抵消，剩下 $\tfrac12+\tfrac12=1$ 。
$y=1.2$ 时方括号等于 $1.2\times2.332/2+\ln(3.532/1.132)=1.399+1.138=2.537$ 。时间单位是 $1500\times19.7\,\mu\mathrm s=29.6\,\mathrm{ms}$ ，所以 $\Delta t_d=75\,\mathrm{ms}$ ，条纹相隔 $13\,\mathrm{Hz}$ 。
$w=1$ 要求 $f=1/(1.24\times10^{-4}\times30)\approx270\,\mathrm{Hz}$ 。低于这个频率，衍射占主导。这个门槛和 $y$ 无关；但在门槛附近像被模糊到什么程度，和 $y$ 有关。

推导沿用 2003 年论文第 2 节的薄透镜处理。LIGO–Virgo–KAGRA 的强透镜模型里也出现同样两类像，最小值和鞍点，其中鞍点像带有四分之一周期的相移。Search for gravitational-lensing signatures in the full third observing run，式 1

下一章：点质量透镜放大因子的精确解。