同一段啁啾走了两条路，探测器听到什么

一段啁啾，路上横着一团质量

两个黑洞互相绕转、越靠越近，会把时空本身摇动起来。并合前的几秒里，它们发出的波音调越来越高、声音越来越大，所以叫啁啾，像鸟叫的那一声“啾”。两个各有十倍太阳质量的黑洞，LIGO 这样的探测器能从每秒约 20 次振动一直听到约 220 次，前后大约六秒。

再在黑洞和地球之间的连线附近放一个重物：一颗恒星、一个孤立黑洞，或者一团暗物质。它的引力会弯折经过的波，就像玻璃透镜弯折光。波可以从它两侧绕过去，于是有两条路通到探测器。两条路长短不同，钻进引力场的深浅也不同，所以一份副本晚到。弯折还改变每份副本的强弱：离质量远的那一份被放大，贴着质量挤过去的那一份通常弱一些。

一个声音的两份副本

想象两只音箱放同一首曲子，其中一只慢了千分之二十秒。对某些音来说，这段延迟正好装下整数个振动，两份副本一起推，声音变响；夹在中间的音，一份的波峰碰上另一份的波谷，互相抵消。延迟千分之二十秒时，变响的音每隔每秒 50 次振动出现一个。录音师管这叫梳状滤波；话筒同时收进人声和近处墙面的回声，听起来就有点这个味道。

引力还多加了一点变化：晚到的那份副本相位错开四分之一个振动，于是变响的音整体挪了一点，间隔仍是延迟的倒数。啁啾会依次扫过所有的音，探测器听到的叠加信号便随音调升高一阵强、一阵弱。

每个频率被放大多少，可以写成一个式子。记两份副本各自被弯折放大的倍数为 $\mu_+$ 和 $\mu_-$ ，延迟为 $\Delta t$ ，频率 $f$ 处的功率放大是

|F|^2=\mu_++|\mu_-|+2\sqrt{\mu_+|\mu_-|}\,\sin(2\pi f\,\Delta t).

最后一项随 $f$ 增大在正负之间来回摆，这就是条纹。设透镜有一千倍太阳质量，离视线半个爱因斯坦半径。爱因斯坦半径是源恰好在透镜正后方时，围着透镜出现的那圈亮环的半径。这时延迟约千分之二十秒，第二份副本约有第一份的 0.6 倍强，振幅在无透镜时的一半到两倍之间起伏。2003 年，Ryuichi Takahashi 和 Takashi Nakamura 给出了单个点状质量情况下的完整解。Wave effects in gravitational lensing of gravitational waves from chirping binaries

波太长，就分不成两路

光的波长比任何恒星都小得多，恒星总能把光干净地分成几个像。并合黑洞发出的引力波就大得多了：每秒振动 100 次的波，一个波长有 3000 公里，差不多是一千倍太阳质量压成黑洞后的尺寸。

波长比这个尺寸长很多时，波就察觉不到有两条路。它从质量旁边绕过去，像长长的海浪涌过一根木桩，后面不留影子。两份副本糊成一份，条纹也就没了。Takahashi 和 Nakamura 指出，决定属于哪种情况的，是透镜的黑洞尺寸和波长之比。他们估计，地面探测器接收并合中子星的信号时，十倍到一万倍太阳质量的透镜正落在这种波动效应要紧的范围。

把透镜换成十五倍太阳质量、放在同样的位置，就能看出差别。上面那个两路公式预言，连最低的音都要放大约一倍半；完整的波动计算在低频却贴近一，只随音调慢慢升高，啁啾的形状保留了 99.75%。

有人听到过吗

还没有。LIGO、Virgo 和 KAGRA 团队把第三轮观测里的每一次黑洞并合都搜了一遍，把透镜当成孤立点质量，没有找到令人信服的证据。Search for gravitational-lensing signatures in the full third observing run

有一个事件 GW200208_130117 略微偏向透镜模型。团队怀疑是一小段探测器噪声让信号中间凹下去，看起来像拍频。难处正在这里：噪声，或者稍有偏差的波形模型，同样能让响度晃动。只有透镜解释胜过所有普通解释，而且胜出的幅度超过纯噪声通常能造成的程度，才谈得上发现透镜。

真实的透镜也很少单独存在。给波当透镜的恒星多半待在一个星系里，星系自身的引力会改变条纹的样子。有研究认为，对一倍太阳质量左右的恒星，波太长，额外的放大大多被抹平了。Stellar-mass microlensing of gravitational waves

接下来的几章推导延迟、精确的放大因子，以及搜索用来判断的检验：透镜为什么让引力波晚到。