电子衍射：两种实验，同一个波长检验

要从两条路得到同一个波长

有说服力的检验，得从两条互不依赖的路得到同一个波长。一条路用 de Broglie 关系：加速电压定下电子动量，动量给出波长。另一条路用晶面间距早已测定的晶体，从衍射几何反推波长。多种设置下都对得上，比在一个挑好的角度看到亮斑有力得多。

两组实验分享了 1937 年物理学奖，测的东西却不同。Davisson 和 Germer 测的是镍晶体散射出来的电子电流；Thomson 和合作者用照相底片拍下穿过薄膜的衍射电子。圆环照片属于 Thomson 的实验，不能拿来当镍晶体装置的数据。

证据与定义：C. J. Davisson, The discovery of electron waves (Nobel lecture, 1937), Figs. 1–4 G. P. Thomson, Electronic waves (Nobel lecture, 7 June 1938)

镍晶体：收集器测到的是什么

镍晶体实验测的是电子朝各个方向散射回来多少，不是放大的原子图像。电子垂直打在晶面上。可移动的收集器和入射束在同一侧，逐个方向接收出射电子，只收能量损失很小的那些；转动晶体可以改变方位角。

实验并不处处吻合，1927 年的作者摘要也这样写。摘要把清洁晶体产生的衍射束和吸附气体产生的束分开，可见清洁表面本身就是确定样品的一步。摘要还报告了对不上的束、找不到的束，以及按简单晶格间距解释时出现的偏差。并非每条强度都符合一个初等 Bragg 公式。

证据与定义：C. Davisson & L. H. Germer (1927), Diffraction of Electrons by a Crystal of Nickel, Physical Review 30, 705 C. J. Davisson, The discovery of electron waves (Nobel lecture, 1937), Figs. 1–4

薄膜：圆环怎么来，怎样确认是电子造成的

金属薄膜由大量朝向各异的小晶粒组成，圆环就是这样来的。按 Thomson 的描述，一束细电子束穿过极薄的材料，打在与入射束垂直的底片上。Reid 早期用赛璐珞薄膜，Thomson 用金属薄膜。多晶金属里，许多小晶粒的取向恰好让同一组晶面间距满足衍射条件。它们一起把电子送进一个圆锥，圆锥和底片相交，就是一个圆环。

金属的晶面间距早已由 X 射线测出，圆环大小因此可以定量比较。Thomson 还用磁场偏转透射束，形成圆环的电子和直射电子一起偏转。这检验了另一种解释：圆环是薄膜上产生的 X 射线造成的。底片记下的是整个曝光期间累积的响应，不是连续电子波的动态录像。

证据与定义：G. P. Thomson, Electronic waves (Nobel lecture, 7 June 1938)

只用电压算出电子波长

电子从近乎静止出发，经过正加速电压，它的波长由下面的相对论能量动量关系给出。式中符号依次是 Planck 常数、元电荷（取正值）、加速电压、电子静质量和光速。只有电子获得的能量远小于静能时，才能用第二行的低电压近似。

举个例子，54 伏对应的真空波长约为 0.167 纳米。光凭这个数还分析不了镍晶体实验，接触电势、固体内部的散射和角度怎么约定都有影响。透射实验的电压高得多，要检查相对论修正，不能默默沿用低能近似式。

\begin{aligned}\lambda&=\frac{hc}{\sqrt{eU(eU+2m_ec^2)}}\\\lambda_{\mathrm{low}}&=\frac{h}{\sqrt{2m_e eU}}\end{aligned}

证据与定义：C. J. Davisson, The discovery of electron waves (Nobel lecture, 1937), Figs. 1–4 G. P. Thomson, Electronic waves (Nobel lecture, 7 June 1938)JEOL, Wavelength of electron — relativistic wavelength table

角度必须说明从哪里量起

这些实验里有三种不同的角，混用就会算错。在初等的晶面图里，Bragg 角是入射束和所选晶面之间的夹角；直射束和衍射束之间的夹角是它的两倍；收集器角度从表面外法线量起，又是另一个量。不先弄清是哪一种，就把一个常被引用的角度代进去，算出来可能很像样，其实不成立。

底片是平的，环半径等于样品到底片的距离乘以散射角的正切。小角近似下，环半径乘晶面间距的关系很好用，但要先标定相机距离、畸变和波长。这只是几何近似，不是强度定律，也定不出唯一的结构。

\begin{aligned}2d\sin\theta_{\mathrm B}&=n\lambda\\r&=L\tan(2\theta_{\mathrm B})\\rd&\approx L\lambda\quad(n=1)\end{aligned}

证据与定义：IUCr Online Dictionary of Crystallography, Bragg’s law

比较说明了什么

关键在于：动量和晶体几何各自独立确定后，能预言观测分布怎样随之变化。如果电子只是经典弹丸、没有相干散射振幅，衍射就很难解释。但这不等于电子的大小就是它的波长，单靠一条波长关系也得不出完整的概率规则。

读原讲稿时，先看 Davisson 的装置和角度扫描，再看他的波长比较，然后看 Thomson 的透射实验和磁偏转检查。到链接的 Lab 里，每次只改一个参数，并记住那里的计数是模拟出来的，不是历史数据。接下来的成像和化学态能谱各追问一件事：透镜之后还剩多少空间信息？电子逃出表面后还剩多少能量信息？