同一位置，为什么会有几种速度

画一张认得出物质的地图

先只沿一个方向压缩，另外两个方向保持均匀。用 $q$ 标记均匀参考位置，用 $y(q,a)$ 表示后来在共动盒里的位置。标签跟着物质走；实际起算时，位置已经是 $q+a_i s(q)$ ，并不等于尚未位移的标签。

在平直纯物质背景里，Zel’dovich增长因子取 $a$ 。选择一条正弦位移，把最强压缩放在盒心，振幅记作 $A$ 。下面的正号包含了这项相位选择。

y(q,a)=q+\frac{aA}{2\pi}\sin(2\pi q),\qquad 0\leq q<1

位置和标签都按盒长归一化。相同标签在不同时刻仍代表同一份质量；这里只研究平面运动的那一个方向。

对应阅读：Zel’dovich (1970), Gravitational instability: an approximate theory for large density perturbations · Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay

一小段标签，挤进多长的空间

取相邻两层，标签间隔为 $dq$ 。后来它们的间隔约为 $dy=J\,dq$ ，其中 $J=\partial y/\partial q$ 。这个局部长度比例叫Jacobian；三维时，它推广成体积比例的行列式。

穿越前 $J$ 处处为正。一小段参考质量不变，长度若只剩原来的四分之一，密度就是平均值的四倍。在平面模型里，横向体积比例不变，因此只需要这一项长度比例。

J=1+aA\cos(2\pi q),\qquad\frac{\rho}{\bar\rho}=\frac1J\quad\text{before crossing}

平均密度已经包含整个宇宙的体积膨胀。这个比值量的是相对于同一时刻平均密度的额外压缩。

对应阅读：Zel’dovich (1970), Gravitational instability: an approximate theory for large density perturbations

完整算出第一次折叠

取 $A=1.8$ 。盒心标签 $q=0.5$ 处，余弦为负一，压缩比例是 $J=1-aA$ 。在 $a=0.4$ 时， $J=1-0.4\times1.8=0.28$ ，因此该位置的位移参考密度约为平均值的 $3.57$ 倍。

第一次达到 $J=0$ 的时刻是 $a_c=1/A=5/9\simeq0.556$ 。标签地图在这里变平；再往后，它出现向后折的部分。图的左侧画的是这张位移参考地图，右侧另看自有无碰撞计算在穿越后的粒子速度。

连续、初始速度完全冷的理想模型在 $J=0$ 处出现密度奇点。奇点表示局部体积比趋于零，并没有创造额外质量。有限的初始速度分散或有限体积平均，都能把这个峰展宽。

\left.\frac{\rho}{\bar\rho}\right|_{q=1/2,a=0.4}=\frac1{1-1.8\times0.4}=\frac1{0.28}\simeq3.57

这个数属于穿越前的解析位移参考。有限网格求出的峰值还受质量沉积和力分辨率影响。

解析平面位移映射的折叠，以及独立片层与PM的相空间比较 — 左/上： $A=1.8$ 的解析ZA映射，三条线各有自己的时刻。右/下：第二阶段实际验收的PM与独立周期片层，同在 $a=1$ ，纵轴为特殊速度。PM每轴 $16$ 粒子与节点，力有有限截断；参考采用 $128$ 张无穷薄平面片层。保留两者的力分辨率与采样差异。查看完整图像

对应阅读：Zel’dovich (1970), Gravitational instability: an approximate theory for large density perturbations · Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay

反查来源，开始有三个答案

把尺度因子继续增到 $a=0.8$ ，仍用同一条参考地图。穿过盒心位置的一条水平线，可以和折叠曲线相交三次。于是同一个 $y$ 对应三个不同的 $q$ 。从标签算位置仍很明确，从位置反查标签却不再唯一。

这三层物质也不是同速的。靠左出发的一层可以向右走，靠右的一层向左走，中间的一层因对称而停在中心。只画位置会把它们重叠；位置—速度图会把三股流分开。

地图中间一段的 $J$ 变成负数，只表示标签的空间次序反了。质量没有负号。把同一位置上的所有分支找出来，每股流都按其局部体积的绝对大小贡献密度。

\frac{\rho(y)}{\bar\rho}=\sum_{q_s:\,y(q_s)=y}\frac1{|J(q_s)|}

求和遍历到达此位置的全部流；均匀参考标签携带等质量。若只取某个负Jacobian的倒数，会把取向翻转误写成负密度。

对应阅读：Zel’dovich (1970), Gravitational instability: an approximate theory for large density perturbations · Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay

从折叠地图，走到穿越后的引力

地图继续折叠，仍能说明几股流怎样重叠。真正沿着后来运动走下去，引力还要回应新的密度：各股物质互相吸引，速度会继续改变。独立周期片层参考用排序后的质量直接求力，网格演化则把质量分配给有限节点。

图中穿越后的对照都取 $a=1$ 、同一正弦初值，比较每轴 $16$ 格的三维PM平面与 $128$ 片无软化参考。把两组物质按累计质量从左到右对应，再平均其位置差，就得到这里的质量分位距离。粒子采样与网格一起细化到每轴 $32$ 后，它从约 $0.0176L$ 降到 $0.00860L$ ；这是质量采样和力分辨率共同细化的结果。

这里最重要的变化，是一个位置再也不能只配一个速度。粒子标签和正质量让多股流可以继续被追踪；下一篇再看有限网格怎样从这些位置算出引力。

对应阅读：Springel (2005), The cosmological simulation code GADGET-2, astro-ph/0505010v1 · Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay

同一位置，为什么会有几种速度

画一张认得出物质的地图

一小段标签，挤进多长的空间

完整算出第一次折叠

反查来源，开始有三个答案

从折叠地图，走到穿越后的引力

练习与解释性答案

动手检验预测

把重叠的位置按速度分开

来源与计算范围