把导出的初值，交给另一个积分器

先预测，再取得一份状态

在线性近似下，从$a_i=0.05$到$a_f\simeq1.09046$，EdS功率应增长约$475.6$倍。先把这个预测写下来；它没有包含有限网格的偏差。

想自己导出时，在Lab选“一张片的折叠”，把振幅降到$A=0.02$，等新计算完成，再暂停并导出当前JSON。每一帧有自己的尺度因子，读文件里的数，不用滑块显示值替代它。当前状态导出和完整原生二进制是两种格式，本教程读取前者。

公开包里的示例使用同一设定，在原生第$116$帧保存，$a_f=1.0904635200240378$。这份示例用Node运行已冻结的Lab模型和当前状态导出函数生成；你也可以换成自己从Lab下载的当前JSON。完整模型从$0.05$走到$1.5$共$1024$步，这一帧对应第$928$步；参考程序则只积分到文件指定的时刻。

对应阅读：Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay · Springel (2005), The cosmological simulation code GADGET-2, astro-ph/0505010v1

在新的目录里运行

下载本页的独立复算包并解压。它包含Python参考程序、示例JSON、预期结果与文件清单；不包含浏览器Engine、原论文或TNG快照。验收环境是Python 3.12.12、NumPy 2.3.5、SciPy 1.17.1。

先在自己的虚拟环境安装requirements.txt中的固定版本，再运行下列命令。输出目录要使用新名字，以免覆盖前一次结果。用自己的当前JSON时，只替换输入文件名；强非线性状态可能需要更多求力次数，不能把这个小波例子的耗时当作所有状态的承诺。

程序产生result.json和独立末态的双精度数组。先检查程序成功结束、尺度因子与输入一致、版本信息符合预期，再看误差；成功的复算会在这两个文件中留下有限的数值结果。

python replay.py small-wave-current.json --out my-new-result

对应阅读：Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay · Springel (2005), The cosmological simulation code GADGET-2, astro-ph/0505010v1

它怎样做到独立

初始位置与动量直接取自导出文件中的完整精度数组，不从界面文字反推，也不再随机生成一份初值。这样两个结果之间的差异不会混入不同的起跑位置。

参考程序使用NumPy的重复索引累加来分配CIC质量，在Fourier空间乘上四点梯度的离散波数，再把力取回粒子；浏览器则先反变换势，再在实空间作四点差分。两者求同一种有限网格力，用的程序路径不同。

时间推进换成SciPy的自适应DOP853。以$\ln a$作自变量时，用链式法则把尺度因子方程乘以$a$，得到下式。相对与绝对容差分别是$2\times10^{-10}$和$2\times10^{-12}$。它独立检验时间推进；同一个粗网格的物理分辨率仍然相同。

对应阅读：Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay · Springel (2005), The cosmological simulation code GADGET-2, astro-ph/0505010v1 · SciPy solve_ivp official reference and installed 1.17.1 documentation

亲手从位置算一次功率

打开初、末态数组，按上一章的定义直接求$\boldsymbol n=(1,0,0)$模式。下面的短代码能用于形状为$(4096,3)$的位置数组，结果以$\mathrm{Mpc}^3$计。不要先把坐标取成三位有效数字，也不要替规则点阵扣Poisson噪声。

已验收示例的初始功率是$0.0019999995\,\mathrm{Mpc}^3$。原生末态为$0.9485598876$，独立参考为$0.9485655642\,\mathrm{Mpc}^3$；它们的功率相差约$5.98\times10^{-6}$的相对量。原生位置与参考位置的均方根差约$4.23\times10^{-9}$个盒长。

如此小的数值差异，只说明这条小波在同一有限网格力下的两种推进相符。它没有把节点之间的引力变成无限分辨率，也没有证明晚期强非线性结点同样准确。

import numpy as np

def power(positions):
    phase = positions @ np.array([1, 0, 0])
    amplitude = np.mean(np.exp(-2j * np.pi * phase))
    return 20.0**3 * abs(amplitude)**2

对应阅读：Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay · Springel (2005), The cosmological simulation code GADGET-2, astro-ph/0505010v1

为什么两者都没长到解析预测

原生功率增长比约$474.2801$，独立参考约$474.2829$，都低于EdS的$475.6443$。参考相对解析增长低约$0.2862\%$。这与原生和参考之间只有约$0.000598\%$的差异，是两个不同的比较。

第一个比较含有限网格、半格点阵响应及微小非线性修正；第二个主要检查两套程序怎样求同一种力、怎样推进运动。前面的$A=0.01$、末时刻$a=1$校准已有空间细化证据，而本教程是$A=0.02$、末时刻约$1.09$，数值不必逐位相同。

做下一次实验时，一次只改一个问题：保持力网格与初值，收紧积分误差，观察参考是否稳定；若要追问连续引力的准确度，则需细化粒子和网格，并保持连续初始扰动一致。每种比较都要回答清楚：这次在检验求力，还是在检验推进。

对应阅读：Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay · Springel (2005), The cosmological simulation code GADGET-2, astro-ph/0505010v1

把质量和周期也查一遍

示例全程最大的原始沉积质量相对误差约$2.22\times10^{-16}$。这个数在扣平均背景以前检查，没有靠事后归一化改成一。把初始位置整体挪整数个盒长，参考力的最大变化约$8.21\times10^{-17}$；初始总平均力也接近零。

这些检查各自回答具体问题：质量是否漏分，周期权重是否一致，内部引力有没有净推走整盒质心。它们与增长、轨迹比较合起来，才构成这次小波复算的证据。精度阈值及完整环境记录都在包中，换自己的状态时应保留新的结果。

对应阅读：Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay · Springel (2005), The cosmological simulation code GADGET-2, astro-ph/0505010v1