用一把随宇宙伸长的尺量运动

让尺跟着平均膨胀走

设物理位置为$\boldsymbol r$，有长度单位的共动位置为$\boldsymbol x$。尺度因子$a$记录宇宙相对于一个参考时刻放大了多少。把共动盒长定为$L=20\,\mathrm{Mpc}$，再定义无量纲位置$\boldsymbol y=\boldsymbol x/L$，盒子每个方向的范围就是零到一。

若物质仅跟着均匀膨胀走，$\boldsymbol y$保持不动，$\boldsymbol r$仍会增长。这正是共动坐标的用途：先把大家共有的膨胀扣掉，剩下的运动直接显示物质相对于平均流动怎样迁移。兆秒差距是长度单位；这里画面采用共动长度。

对应阅读：Springel (2005), The cosmological simulation code GADGET-2, astro-ph/0505010v1 · Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay

先分清两种速度

对物理位置求时间导数，会得到两项。第一项来自尺本身伸长，第二项来自粒子在尺上移动。定义$H=\dot a/a$，点表示对宇宙时间求导；相对于平均膨胀的第二项叫本动速度，也称特殊速度$\boldsymbol v_{\rm pec}$。

一颗粒子可以朝盒子内侧移动，共动位置减小，却仍因膨胀而离选定原点越来越远。只有向内的本动速度足够大，才会抵过向外的膨胀项。比较相邻物质是否真的靠近时，也要做同样的区分。

对应阅读：Springel (2005), The cosmological simulation code GADGET-2, astro-ph/0505010v1

保存一个适合推进运动的量

计算文件里保存的$\boldsymbol u$不是以千米每秒计的速度。先把每单位质量的正则动量写成$\boldsymbol p=a^2\dot{\boldsymbol x}=a\boldsymbol v_{\rm pec}$，再除以固定的速度标尺$H_\star L$，得到无量纲的$\boldsymbol u$。正则动量是随所选坐标一起定义、方便写运动方程的量。

采用$H_\star=70\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$，乘盒长以后，速度标尺就是$1400\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$。这个星号表示模型的参考值。把$a$和$\boldsymbol u$一起保存，就能在每个时刻还原本动速度。

为什么多乘一次$a$？取没有本动引力的均匀背景极限，本动速度按$1/a$减小，$\boldsymbol u$却保持恒定。这样写方程，背景膨胀造成的那项变化已经整理进变量里。

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算一次向内运动

给定一个换算练习：$a=0.5$时，一颗粒子沿选定轴的位置是$y_x=0.25$，动量分量是$u_x=-0.2$。负号表示本动方向朝向原点。这组数是题目指定的状态，不是某个预设的测量值。

先算位置。共动距离为$20\times0.25=5\,\mathrm{Mpc}$，物理距离再乘$0.5$，得到$2.5\,\mathrm{Mpc}$。本动速度则是$1400\times(-0.2)/0.5=-560\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$。

在本课程采用的平直纯物质背景，也就是Einstein–de Sitter（EdS）宇宙里，$H(a)=H_\star a^{-3/2}$。这个时刻的Hubble率约为$198\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$，向外的膨胀速度约为$495\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$。两项相加，物理距离的变化率约为$-65\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$：它正在真正靠近原点。

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把尺度因子也当作时钟

这个受限宇宙一直膨胀，$a$单调增加，能直接充当推进运动的时钟。定义物理本动引力势$\phi$，它有速度平方的单位；再取$U=a\phi/(H_\star^2L^2)$，把势也换成无量纲形式。$\nabla_y U$列出势沿三个共动方向的变化率，引力沿其负方向。

把Newton运动方程中的时间导数，按$\dot a=aH=H_\star a^{-1/2}$换成对$a$的导数，就得到下面两式。动量变量已经包含膨胀效应，右边不再另外加一次Hubble阻尼。

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跨过盒面，标签还在

周期盒把一面接到对面。显示时可从$y_x$减去一个整数，把它放回零到一之间；导出则保留连续位置，方便追踪同一粒子。相差一个整数的位置代表周期副本。

跨过显示边界没有丢失质量，也没有让粒子逃离引力系统。下一篇的壳层穿越说的是不同物质流到了同一位置，和穿过周期盒面是两件事。

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