功率记住了增长，也丢掉了什么

把一颗粒子变成圆上的一个方向

想沿盒子的一条轴找最长的一条波。让每颗粒子的共动位置在单位圆上转一圈，再把所有方向平均。若粒子均匀铺满，各个方向会互相抵消；若偏向波的某些位置，便留下一个有长度、有方向的箭头。箭头的长度表示振幅，方向记录相位。

对三维整数波矢 $\boldsymbol n$ ，用下面的复指数把两个分量写在一起。这里质量相等，因而每颗粒子权重相同。只取非零模式：平均密度已经是背景。

\delta_{\boldsymbol n}=\frac{1}{N_p}\sum_{p=1}^{N_p}\exp(-2\pi i\boldsymbol n\cdot\boldsymbol y_p),\qquad \boldsymbol n\ne\boldsymbol0

实部是余弦的平均，虚部是负正弦的平均。盒面相差一个整数周期，因此显示时绕回盒内不会改变这个量。

对应阅读：Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay · Springel et al., First results from IllustrisTNG: matter and galaxy clustering (2018), arXiv:1707.03397v2

平方以后，方向消失了

把箭头长度平方，再乘共动盒体积，就是本课程对单个离散模式定义的功率。它有体积单位。盒长用Mpc时，功率用 $\mathrm{Mpc}^3$ ，而非物理体积随膨胀再乘一次尺度因子。

通常的宇宙学功率谱还会把波数大小接近、方向不同的许多模式平均，甚至讨论不同初始样本的统计期望。本Lab只追踪少数明确指定的模式，不能把它的一颗低波数读数当作精密测量的整条各向同性功率谱。

P_{\boldsymbol n}=L^3|\delta_{\boldsymbol n}|^2,\qquad k_{\boldsymbol n}=\frac{2\pi|\boldsymbol n|}{L}

下标标识一个周期模式。与文献比较前，先看体积归一化、长度单位及模式平均的定义。

对应阅读：Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay · Springel et al., First results from IllustrisTNG: matter and galaxy clustering (2018), arXiv:1707.03397v2

同样两份功率，可以长得不一样

在一维周期坐标中叠加两条小波：第一条绕盒一圈，第二条绕两圈。把第二条的正负翻转，等于只把它的相位挪半圈。每条波的振幅都没变，波峰之间怎样相遇却变了。

下图是自己构造的连续密度例子，不是某次PM输出。两幅密度都为正；它们的两个模式功率各为 $20\,\mathrm{Mpc}^3$ ，空间图案却不同。只有这些功率，无法把原来的图像唯一拼回来。

\delta_+(y)=0.1\cos(2\pi y)+0.1\cos(4\pi y),\qquad \delta_-(y)=0.1\cos(2\pi y)-0.1\cos(4\pi y)

盒长取

20\,\mathrm{Mpc}

。两个正整数模式的复振幅模长都是

0.05

，所以各自的功率为

20^3(0.05)^2=20\,\mathrm{Mpc}^3

。

两幅不同的正密度图案，各自两个Fourier模式却有相同功率 — 自有解析算例，只翻转第二条波的符号。密度曲线不同， $L=20\,\mathrm{Mpc}$ 时两个例子的 $n=1$ 、 $n=2$ 功率却都为 $20\,\mathrm{Mpc}^3$ 。等功率标记在同一整数模式重叠；它不是PM输出或论文图数字化。查看完整图像

对应阅读：Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay · Springel et al., First results from IllustrisTNG: matter and galaxy clustering (2018), arXiv:1707.03397v2

在线性增长里，功率长得比振幅快

EdS背景中，足够小的纯增长密度扰动与尺度因子成正比。功率是振幅平方，因此增长比取尺度因子比的平方。密度已经严重非线性时，波与波之间会重新分配功率，这条简单规律便失去适用条件。

先算解析小波，而不是从动画估数。令平面波的初值参数 $A=0.01$ ，从 $a_i=0.05$ 走到 $a_f=1$ 。一阶密度是 $\delta\simeq aA\cos(2\pi y)$ ，所以最长模式的初、末功率分别约为 $0.0005$ 与 $0.2\,\mathrm{Mpc}^3$ ，增长比为 $400$ 。

固定网格也会留下系统差异。已保存的独立校准采用每轴16格、256步；其实际功率增长比比EdS的 $400$ 低约 $0.2814\%$ 。增加时间步数不能自动消掉这个空间算子的偏差。每轴8格与32格的同类检查分别低约 $4.115\%$ 和 $0.02538\%$ ；这里粒子与网格一起细化，三组都使用同一个连续小波初值。

\frac{P(a_f)}{P(a_i)}\simeq\left(\frac{a_f}{a_i}\right)^2

这是小扰动、纯增长模的EdS参照。上述256步校准与Lab的1024步原生记录是不同的计算，下一篇将从实际导出时刻重算。

对应阅读：Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay · Springel et al., First results from IllustrisTNG: matter and galaxy clustering (2018), arXiv:1707.03397v2

安静的点阵，不是随机撒点

把四颗等质量粒子放在周期区间的四个四等分位置，最长模式的四个方向会精确抵消。它们很离散，功率却可以为零。离散不等于Poisson随机采样。

随机独立撒点时，平均会留下由有限样本造成的散粒噪声。TNG聚类论文在其统计测量中讨论相应扣除，也明确提醒冷而有序的粒子分布可能低于Poisson噪声。本课程的小波来自规则半格点阵，因此不机械扣掉体积除以粒子数；那样甚至会把本应为零的模式扣成负值。

同样要分清求力和测量。网格窗口参与求引力，功率读数则直接对粒子位置求和。把显示密度图再做FFT，会引入另一次窗口与混叠，得到的是另一种估计器。

对应阅读：Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay · Springel et al., First results from IllustrisTNG: matter and galaxy clustering (2018), arXiv:1707.03397v2

功率记住了增长，也丢掉了什么

把一颗粒子变成圆上的一个方向

平方以后，方向消失了

同样两份功率，可以长得不一样

在线性增长里，功率长得比振幅快

安静的点阵，不是随机撒点

练习与解释性答案

动手检验预测

用完整精度检验一条小波

来源与计算范围