波、自转与克尔黑洞的尺度

如果第一次接触这个现象，可以先读旋转黑洞为什么可能把波越放越大。本章只用到代数、角频率和氢原子能级。

用黑洞质量当尺子

质量为 $M$ 的黑洞自己定下了长度和时间的单位。令引力常数和光速都等于1，即 $G=c=1$，长度就以 $GM/c^2$ 计，时间以 $GM/c^3$ 计。写“$r=2M$”，指的是半径 $2GM/c^2$。

两列都与质量成正比。频率乘以 $M$ 这类无量纲的结果，对任何质量都成立；换成千米或秒时，才需要代入具体质量。

克尔视界和它的转速

不带电的旋转黑洞由克尔解描述。除了 $M$，它只多一个数：自转参数 $a=J/M$，即单位质量的角动量，取值 $0\le a\le M$。视界在 $r^2-2Mr+a^2=0$ 的较大根上：

旋转黑洞拖着周围的时空转。紧贴视界悬着的小物体，只能跟着视界以角速度

绕圈。赤道面上从 $r_+$ 到 $r=2M$ 的区域叫能层，在那里，任何东西都无法相对远方的恒星静止。

例题1。 取 $a=0.99M$。$\sqrt{1-0.99^2}=0.141$，于是 $r_+=1.141M$，$M\Omega_H=0.99/(2\times1.141)=0.434$。对10倍太阳质量的黑洞，$\Omega_H=0.434/(49.3\,\mu\mathrm s)=8.81\times10^3\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$，视界每秒约转 $1.40\times10^3$ 圈。

Brito、Cardoso、Pani，《超辐射》第4.7节

波带着能量，也带着角动量

绕轴转的波写成 $e^{-i\omega t+im\varphi}$，$\varphi$ 是方位角，$m$ 是整数。波峰保持 $m\varphi-\omega t$ 不变，所以波纹以 $\omega/m$ 的角速度转。波交给吸收体能量 $\mathrm dE$ 的同时，也交出角动量

比值 $m/\omega$ 固定，是因为波在轴对称物体上散射时，频率和 $m$ 都不变。Brito、Cardoso、Pani，《超辐射》第3.5.1节

视界什么时候必须交出能量

先看一个以角速度 $\Omega$ 转动的普通物体。在跟它一起转的参考系里，它从波那里得到的能量是 $\mathrm dE^\prime=\mathrm dE-\Omega\,\mathrm dJ$。代入上面的比值：

吸收体只会把有序的波能变成热，$\mathrm dE^\prime\ge0$。$\omega<m\Omega$ 时括号是负的，$\mathrm dE$ 就只能是负的：物体把能量交给了波。这就是泽尔多维奇的转动超辐射。

黑洞遵守同样的账，只是视界面积 $A$ 取代了熵。黑洞第一定律是 $\mathrm dM=\Omega_H\,\mathrm dJ+(\kappa/8\pi)\,\mathrm dA$，$\kappa$ 是表面引力；面积定理要求 $\mathrm dA\ge0$。代入 $\mathrm dJ=(m/\omega)\,\mathrm dM$：

当 $0<\omega<m\Omega_H$，黑洞质量只能减少。$m\le0$ 的波永远满足不了这个条件；$a=0$ 时，任何波都满足不了。

被困住的波：引力原子

现在让场带上质量 $m_b$。波的能量低于静能时逃不掉，引力把它拴在束缚态上，就像质子拴住电子。束缚有多紧，由无量纲耦合

决定，它是黑洞尺度 $GM/c^2$ 与粒子约化康普顿波长 $\hbar/(m_bc)$ 之比。在 $G=c=\hbar=M=1$ 的单位里，场的质量和耦合是同一个数，耦合扮演精细结构常数的角色。

$\alpha$ 很小时，这些态很像氢原子。最重要的一个带一个单位角动量，$l=m=1$，径向没有节点。它的频率接近静能：

径向轮廓为 $r^\prime e^{-r^\prime/2}$，其中 $r^\prime=r\alpha^2/M$。在半径 $r$ 处找到场的概率在 $r=4M/\alpha^2$ 最大，耦合越小，云越大、越稀薄。Brito、Cardoso、Pani，《超辐射》第5.6.2节

云每绕一圈都擦过视界。$\omega_R<m\Omega_H$ 时云增长，否则慢慢被吞掉。Dolan，《克尔时空中有质量克莱因—戈尔登场的不稳定性》第II节

例题2。 仍取 $a=0.99M$，$M\Omega_H=0.434$。$\alpha=0.3$ 时 $M\omega_R\approx0.3\times(1-0.01125)=0.297$，低于0.434，云增长；峰值在 $r=4M/0.09=44M$ 附近，对10倍太阳质量约为 $660\,\mathrm{km}$。$\alpha=0.45$ 时 $M\omega_R\approx0.439$，略高于视界转速，云衰减。完整数值解在这里给出 $M\omega_R=0.436$，同样偏高，云同样衰减。

Lab任务

1. 由表1.2预言 $a=0.7M$ 时的门槛频率。在Lab里把自转设为0.7，拖动波长标记，直到反射波增益变号，与预言对照。
2. 固定频率，把自转转盘拖到零。用第一定律的论证说明，增益为什么再也回不到正值。
3. 自转0.99时，找出云的增长曲线降到零的耦合，与由 $\omega_R\approx m_b$ 得到的估计 $\alpha\approx M\Omega_H$ 比较。

习题与解析

1. 求 $a=0.5M$ 时的 $r_+$ 和 $M\Omega_H$。
2. $m=2$、$M\omega=0.6$ 的波遇到 $a=0.99M$ 的黑洞，会被放大吗？
3. 10倍太阳质量的黑洞，$\alpha=0.1$ 时 $l=m=1$ 的云峰值在哪里？
4. 为什么 $a>0$ 的黑洞永远放大不了 $m=-1$ 的波？

下一章从波动方程本身证明放大条件，并把这些数换成秒和电子伏特：守恒能流、物理单位与第一次增长估算。