复算一份公开的超辐射放大表

这份指南列出全部输入、命令、输出和失败情形，你可以照着重做一遍。背后的物理见守恒能流、物理单位与第一次增长估算和可复现地求出束缚云的增长率。

作者公开了什么

CENTRA引力组在网上提供标量波、电磁波和引力波被克尔黑洞散射时的放大因子。CENTRA/GRIT，放大因子 页面说明这些程序可以自由使用，并请使用者引用原始工作，即Brito、Cardoso、Pani的综述。Brito、Cardoso、Pani，《超辐射》第4.7节

$Z$ 是反射波能量的相对增益，$Z=\mathrm dE_{\mathrm{out}}/\mathrm dE_{\mathrm{in}}-1$。压缩包里还有一个Mathematica笔记本，我们没有打开，所以这里的结果不依赖作者的代码。

我们不转发这个压缩包。它的SHA-256摘要记在slice-inputs.json里，你可以核对自己下载的是不是同一份字节。

第一步：下载并核对

下载的文件单独放一个空文件夹，脚本放另一个。

mkdir -p superradiance-check/author-data superradiance-check/scripts
cd superradiance-check/author-data
curl -L -o superradiance_spin_1.zip https://centra.tecnico.ulisboa.pt/media/cms_page_media/147/superradiance_spin_1.zip
shasum -a 256 superradiance_spin_1.zip
unzip superradiance_spin_1.zip
shasum -a 256 sigma_VS_om_a_s0l1m1.dat

两个摘要应当是：

2c03d43e8d417fad30c2128bb202836411a384dac99d2dcd1a3679f6574aff30  superradiance_spin_1.zip
e03e70b3b2af6c8112487212f8dcb04c9d5bfa46837685580ad65694865333af  sigma_VS_om_a_s0l1m1.dat

只要有一个不同，就说明网站上的文件改过了，先停下来比对，再决定是否相信下面的结果。运行脚本也会检查表格的摘要，并把是否一致写进输出。

第二步：取得脚本并运行

把下面这些文件存进脚本文件夹：

1. spheroidal_eigenvalue.py，角向本征值。
2. kerr_scalar_scattering.py，散射求解器。
3. low_frequency_amplification.py，低频解析公式。
4. reproduce_amplification_slice.py，比对主程序。
5. slice-inputs.json，运行设置。

然后在脚本文件夹里运行：

python3 reproduce_amplification_slice.py ../author-data/sigma_VS_om_a_s0l1m1.dat slice-inputs.json slice-outputs.json

没有任何一行失败时，脚本以状态0退出，否则以1退出。我们的输出是slice-outputs.json。我们用的是Python 3.9.6、NumPy 2.0.2、SciPy 1.13.1，版本号也写在输出文件里。

求解器做了什么

这个求解器和作者的代码没有共用任何部分。对每个频率，它：

1. 把 $c^2=(a\omega)^2$ 下的扁球本征值当作 $24\times24$ 矩阵的本征值来算；
2. 在 $r_+ + 10^{-3}(r_+-r_-)$ 处，用一个只向视界内掉落的八项级数起步；
3. 用八阶龙格—库塔法向外积分径向方程，相对容差 $10^{-11}$，积到 $r=\max(250,80/\omega)$；
4. 把结果与十二项的入射、出射级数拼接，读出 $Z=|R_{\mathrm{out}}/I|^2-1$。

算出的 $Z$ 与发表值的相对差在 $10^{-5}$ 以内，这一行就算通过。发表值绝对值小于 $10^{-12}$ 的行单独列为舍入行，因为相对差在那里没有意义。

结果

这一列最大的增益是0.366%，在 $M\omega=0.382$，与综述所说标量波最多增益约0.4%一致。越过门槛后，黑洞几乎吞下整列波，$Z$ 趋近 $-1$。

另有两个独立的极限支撑这个求解器。把自转设为零，试过的每个频率上 $Z$ 都是负的：$M\omega=0.05$ 时 $-1.69\times10^{-5}$，0.2时 $-0.0344$，0.5时 $-0.998$。不转的黑洞只会吸收。低频时，综述式(4.103)—(4.104)的解析公式逼近表格：公式与表格之比在 $M\omega=0.0087$ 时是0.990，到 $M\omega=0.095$ 降到0.772，符合一阶展开的预期。

第三步：类氢增长公式在哪里成立

云的增长率有一条简短公式，即综述式(5.27)，适用于小耦合。要看它在哪里成立，把kerr_bound_states.py和compare_hydrogenic_growth.py存到其他脚本旁边，运行

python3 compare_hydrogenic_growth.py hydrogenic-comparison-outputs.json

它对自转0.5、0.7、0.9、0.99，从耦合0.05起每隔0.01解一次连分数，直到云不再增长；并先拿Dolan的表I检验自己，六个最大值都相差不到0.3%。Dolan，《克尔时空中有质量克莱因—戈尔登场的不稳定性》表I 我们的输出是hydrogenic-comparison-outputs.json。

这张表要小心读。吻合区间都紧挨着各自的截止点，是两条曲线降向零时的交叉，并不是公式准确的区域。在算过的最小耦合 $\alpha=0.05$ 处，公式仍高估15%到53%，自转越大高估越多。频率实部则准得多，处处在0.4%以内。这条公式可以大致判断哪些耦合会增长，却不能说明长得多快。

失败情形与已设防的陷阱

第一项和最后两项是我们运行时真实遇到的，第二、三项是代码里已经设防的。

1. 门槛行。$M\omega=m\Omega_H$ 时严格增益为零。表里的 $7.1\times10^{-15}$ 和我们的0都是舍入误差，所以这一行只报告、不计分。
2. 极端自转。求解器的视界级数和乌龟坐标要求 $r_+\neq r_-$，所以遇到 $a=1$ 会直接拒绝，而不是给出一个数。
3. 角向参数用错。束缚云的扁球参数是 $a^2(\omega^2-\mu^2)$，是复数。束缚态求解器每一步都用复频率重新计算，而不是沿用散射时的实数 $(a\omega)^2$。
4. 能级找错。$a=0.55$、$\alpha=0.47$ 时，从类氢初值出发会收敛到第一泛音 $M\omega_R=0.4622$，而不是基态 $M\omega_R=0.45190$。从相邻的解延拓过来就能纠正。
5. 小耦合收敛慢。$a=0.99$、$\alpha=0.05$ 时，把连分数加深到四倍，结果仍变化 $1.2\times10^{-4}$。

这次核对说明不了什么

它只覆盖一个文件里一种自转下的无质量标量 $l=m=1$ 模式，对电磁波、引力波的表都没有说明，对同一文件里的其他自转也没有说明，不过改一下输入里的自转就能让脚本去算。与作者的表一致，说明两套独立代码用同样的方式解了同一个方程，并不是观测到了超辐射。Lab的放大图用的是同一个求解器，所以这份指南也是它的检验。可以到黑洞超辐射Lab里试一试。