可复现地求出束缚云的增长率

本章接着守恒能流、物理单位与第一次增长估算往下讲，需要复数、微分方程的级数解和一点Python。

什么样的频率算束缚态

被困住的云要同时满足两个边界条件。在视界处它只能往里掉，这和散射波一样。在远处它必须衰减，不能向外辐射，即 $R\propto e^{qr}$，其中

两个条件只有在某些特殊的复数 $\omega$ 上才能同时成立。实部是云的振荡频率，虚部 $\omega_I$ 是增长率，云增长时为正。

Dolan把解写成两端行为都已正确的因子乘一个幂级数：

其中 $\sigma=2r_+(\omega-m\Omega_H)/(r_+-r_-)$，$\chi=(\mu^2-2\omega^2)/q$。级数变量在视界处为0，在无穷远处趋于1。Dolan，《克尔时空中有质量克莱因—戈尔登场的不稳定性》第III节式(33)—(34)

从递推关系到连分数

把级数代入径向方程，得到三项递推：

$\alpha_n$、$\beta_n$、$\gamma_n$ 都是 $n$ 的二次式，系数取决于 $\omega$、$a$、$\mu$、$m$ 和角向本征值 $\Lambda$。级数在 $r\to\infty$ 处收敛，只对递推的最小解成立，而最小解存在的条件恰好是

Dolan，第III节式(35)—(36)与式(47)—(48) 这就是Leaver方法，最早用来算黑洞的振铃。

写程序时有两个细节。第一，$\Lambda$ 要用复数的扁球参数 $c^2=a^2(\omega^2-\mu^2)$ 来算，而不是 $a^2\omega^2$；我们的程序在勒让德基底上取 $24\times24$ 矩阵求本征值。第二，连分数从有限深度 $N$ 往回算到 $n=0$，$N$ 是个数值参数，必须检验。

def continued_fraction(omega, a, mu, l=1, m=1, depth=4000):
    c0, c1, c2, c3, c4 = _recurrence_coefficients(omega, a, mu, l, m)
    n = np.arange(depth + 1, dtype=float)
    alpha = n * n + (c0 + 1) * n + c0
    beta = -2 * n * n + (c1 + 2) * n + c3
    gamma = n * n + (c2 - 3) * n + c4
    tail = 0j
    for k in range(depth, 0, -1):
        tail = alpha[k - 1] * gamma[k] / (beta[k] - tail)
    return (beta[0] - tail) / beta[0]

完整文件见kerr_bound_states.py。

找零点

Dolan在复平面上求连分数绝对值的最小值。我们改用复数割线迭代，从上一章的类氢频率出发。Brito、Cardoso、Pani，《超辐射》第5.6.2节式(5.27)相邻能级相隔约 $\mu^3$，所以每一步都限制在这个间距的5%以内。不加限制，一大步就可能跳到别的能级上。

例题1。 $a=0.99$、$\alpha=0.1$ 时，类氢初值是 $M\omega=0.099875+1.59\times10^{-11}i$。迭代收敛到 $M\omega_I=7.389\times10^{-12}$。实部几乎不动，虚部减了一半。

收敛：把连分数加深

$\alpha\ge0.1$ 时深度取3000，更小时取6000。检验办法是把深度乘以四再解一次，看结果变多少。

小耦合收敛最慢。云的峰值在 $r=4/\alpha^2$ 附近，$\alpha=0.05$ 时是 $1600M$，级数变量要非常接近1才能把解描述完整，各项也衰减得慢。$10^{-4}$ 的误差远小于Lab显示的精度，但它是最坏情形，引用时应该报这个数。

拿已发表的表来核对：Dolan的表I

Dolan对六个自转值列出了增长最快的 $l=m=1$ 云所在的耦合和它的增长率。我们用黄金分割搜索，在自己的程序上找每个最大值。

Dolan，表I

每一处差别都小于表中三位有效数字的舍入。这只复现了一张表，不是整篇论文。脚本是compare_hydrogenic_growth.py，保存的输出是hydrogenic-comparison-outputs.json。

泛音陷阱

割线迭代会收敛到离初值最近的零点，而耦合较大时，基态和第一泛音挨得很近。按类氢图像，两者实部分别是 $\alpha(1-\alpha^2/8)$ 和 $\alpha(1-\alpha^2/18)$，$\alpha=0.47$ 时只差约1.5%。

例题2。 $a=0.55$、$\alpha=0.47$ 时，从类氢初值出发会收敛到 $M\omega_R=0.4622$，那是径向有一个节点的泛音。改从 $a=0.54$ 的解出发，才得到基态：$M\omega_R=0.45190$，$M\omega_I=-1.354\times10^{-3}$，云被吸收。程序里有一道检查，实部偏离类氢值超过8%就判为丢失模式，但它拦不住这种情况，因为两个能级靠得比8%近得多。

我们的网格靠延拓避开这个陷阱。从 $\alpha=0.15$ 起，每个新耦合都从同一自转下前两个解的直线外推出发，求解器就能跟着同一个能级走。每个存下的值还要核对超辐射条件：$\omega_I>0$ 当且仅当 $\omega_R<m\Omega_H$。这项检查能发现错误的根或算错的角向本征值，却分不清能级，因为泛音也满足同样的条件。让网格留在基态上的，是延拓和曲线的光滑。

Lab背后的网格

Lab不在浏览器里解连分数，而是读一张离线算好的网格，由build_growth_reference_grid.py生成：

1. 自转从0到0.98，步长0.02，外加0.99。
2. 耦合从0.05到0.70，步长0.01。
3. 每个格点存 $M\omega_I$ 四位有效数字、$M\omega_R$ 六位。

格点之间，Lab把增长率写成 $\omega_I=g\,(m\Omega_H-\omega_R)$，对光滑的 $\ln g$ 关于 $\ln\alpha$ 插值。这样增长率的零点正好落在超辐射门槛上。在七个落在格线之间的点上，包括上面的泛音例子，插值结果与直接求解相差不到0.83%。

Lab任务

1. 把自转设为0.99，滑动频率找到增长曲线的峰，与表3.2的峰值耦合对照。
2. 在自转0.5时重复，记下虚线类氢曲线和实线在哪里相符、从哪里分开。
3. 选“恰在门槛上”预设，确认云的增长率和散射波的增益在同一频率变号。

习题与解析

1. 为什么根必须满足 $\mathrm{Re}\,q<0$？
2. 为什么小耦合时更需要加深连分数？
3. 你找到一个 $\omega_R>m\Omega_H$ 却在增长的模式，哪里出了错？
4. 为什么插值 $\ln g$，而不直接插值 $\omega_I$？

散射波也可以拿公开的表这样核对。方法指南就做这件事：复算一份公开的超辐射放大表。