守恒能流、物理单位与第一次增长估算

本章沿用波、自转与克尔黑洞的尺度的结果：单位 $G=c=M=1$，视界半径 $r_+$，视界转速 $\Omega_H$。

径向方程

克尔背景上质量为 $\mu$（以 $1/M$ 计）的标量场，可以分离成时间因子 $e^{-i\omega t}$、角向因子 $e^{im\varphi}S(\theta)$ 和径向函数 $R(r)$。径向函数满足

其中 $\Delta=r^2-2r+a^2$，$K=(r^2+a^2)\omega-am$，$\lambda=\Lambda+a^2\omega^2-2am\omega$。$\Lambda$ 来自角向方程，黑洞不转时等于 $l(l+1)$，有自转时略有偏移。Dolan，《克尔时空中有质量克莱因—戈尔登场的不稳定性》第II节

$\Delta$ 在内外两个视界 $r_\pm=1\pm\sqrt{1-a^2}$ 上为零。靠近 $r_+$ 时 $K^2/\Delta$ 一项占主导，而 $K(r_+)=2r_+(\omega-m\Omega_H)$。放大条件里的所有量，都装在这一个边界值里。

一个不会变的朗斯基量

取无质量的波 $\mu=0$，频率为实数。这时径向方程的系数全是实数，复共轭 $R^\ast$ 也满足同一个方程。用 $R^\ast$ 乘 $R$ 的方程，减去 $R$ 乘共轭方程，势能项正好抵消：

方括号里是朗斯基量，在每个半径上都取同一个值，所以紧贴视界处的值必须等于远处的值。

换成 $\psi=\sqrt{r^2+a^2}\,R$，并用乌龟坐标 $r_\ast$ 表示，计算更干净。$r_\ast$ 在视界处趋于 $-\infty$，在远处趋于 $+\infty$。物理上，视界里不能有东西出来，所以视界附近的波只往里掉：$\psi\to T\,e^{-ik_Hr_\ast}$，$k_H=\omega-m\Omega_H$。远处是入射波和反射波之和：$\psi\to I\,e^{-i\omega r_\ast}+R\,e^{i\omega r_\ast}$，这里的 $R$ 指反射振幅。让两端的守恒量相等，得到

Brito、Cardoso、Pani，《超辐射》第4.4节式(4.53)

左边是入射波与反射波之间少掉的能流。$\omega>0$ 时，反射波比入射波强，即 $|R|>|I|$，当且仅当 $\omega<m\Omega_H$。这个证明不用任何近似，也不需要小参数。增益用

来衡量。

例题1。 我们的程序取 $a=0.99$、$M\omega=0.3$，从视界向外积分径向函数。在 $1.14M$ 到 $267M$ 之间取六个半径，朗斯基量始终是 $0.305359584$，相对起伏只有 $3.6\times10^{-10}$。自转0.99这一列的全部100个频率上，能流平衡两边的差都小于 $4.2\times10^{-11}$。任何放大程序都该先过这一关。完整的复算过程见复算一份公开的超辐射放大表。

从几何单位换回秒和电子伏特

换回普通单位：无量纲时间乘 $GM/c^3$，长度乘 $GM/c^2$，能量乘 $\hbar c^3/(GM)$。

最后一个因子就是 $\hbar$ 除以时间单位，$6.58\times10^{-16}\,\mathrm{eV\,s}$ 除以 $4.93\,\mu\mathrm s$。于是云的耦合 $\alpha=M\mu$ 定下了粒子的静能：

增长率 $M\omega_I$，即 $M\omega$ 的虚部，定下了场振幅增大到 $e$ 倍所需的时间：

云里的粒子数正比于振幅的平方，按 $e^{2\omega_It}$ 增长。

两行用的是同一个无量纲解。考察更重的黑洞，就是在考察更轻的粒子。

观测者能把这些数和什么联系起来

上面这些量都不能直接观测。黑洞自转要从吸积双星的X射线谱或并合引力波的波形里推断，各有各的模型和误差。如果云里的玻色子成对湮灭，会发出几乎单色的引力波，频率约为玻色子频率的两倍，$f_{\mathrm{GW}}\approx2m_bc^2/h$。$m_bc^2=2.67\times10^{-12}\,\mathrm{eV}$ 时约为 $1.29\,\mathrm{kHz}$，落在地面探测器的频段里。Baryakhtar、Galanis、Lasenby、Simon，《自相互作用标量场的黑洞超辐射》图13

要把增长率和这样的测量连起来，光靠本章的计算不够。下面的增长率只描述线性阶段的单个模式，它说明小云长得多快；云最后长到多大，取决于自转下降的历史。

第一次估算：类氢增长率

$\alpha$ 很小时，云离黑洞很远，可以把类氢波函数和视界附近的解拼接起来求增长率。$l=m=1$ 基态的结果是

Brito、Cardoso、Pani，《超辐射》第5.6.2节式(5.27)

括号其实就是超辐射条件。取 $\omega\approx\mu=\alpha$、$\Omega_H=a/(2r_+)$，条件 $\omega<m\Omega_H$ 就写成 $2\alpha r_+<a$。陡峭的 $\alpha^9$ 因子说明，又大又稀的云只有极少一部分能碰到视界。

例题2。 取 $a=0.99$，$r_+=1.141$，$\alpha=0.1$。括号等于 $0.99-0.228=0.762$，于是 $M\omega_I\approx0.762\times10^{-9}/48=1.59\times10^{-11}$。严格的连分数解是 $7.39\times10^{-12}$，小了2.1倍。对10倍太阳质量，估算给出的e倍增长时间是36天，严格解是77天。

空格处的耦合下，严格解里的云已经不再增长。在整张表里，估算的频率实部误差都小于0.4%，增长率却只准到几倍以内。截止点附近，两条曲线降向零时会碰巧相交，$a=0.9$、$\alpha=0.3$ 时的1.07这种看似吻合就是这样来的。

本章每个数背后的假设

1. 场是试验场：云足够轻，不改变克尔几何。
2. 场是自由的，不计轴子那样的自相互作用。
3. 只追踪一个模式，$l=m=1$、径向无节点。
4. 黑洞是孤立的，没有吸积，也没有伴星。
5. 增长是线性的，自己永远停不下来。只有云拿走足够多的自转、让 $\Omega_H$ 降到云的频率，增长才会停，而这段历史这里没有计算。

只作量级参考：$\alpha=0.42$ 时，装下10倍太阳质量黑洞百分之一质量的云，约含 $2\times10^{76}$ 个玻色子。从一个玻色子长到这么多，粒子数要经过 $\ln(2\times10^{76})\approx176$ 个e倍，相当于88个振幅e倍增长时间，大约8小时。之后怎样，由饱和、自转下降和云自身的辐射决定。

Lab任务

1. 在Lab里打开高级选项，把黑洞质量从10倍改成100倍太阳质量。先预言e倍增长时间和玻色子静能怎样变，再看读数。
2. 选“恰在门槛上”预设，看放大图在 $\omega=m\Omega_H$ 附近的走向，确认曲线正好在那里穿过零，与能流恒等式的要求一致。
3. 把自转设为0.99，比较小耦合和大耦合下的实线与虚线增长曲线，找出虚线约为实线两倍的耦合。

习题与解析

1. 证明 $K(r_+)=2r_+(\omega-m\Omega_H)$。
2. 为什么 $\omega$ 为复数时，朗斯基论证不再成立？
3. $M=4\times10^6\,\mathrm M_\odot$、$\alpha=0.2$ 时，玻色子静能是多少？
4. $a=0.99$、$\alpha=0.2$ 的云 $M\omega_I=1.61\times10^{-9}$。对10倍太阳质量，它的e倍增长时间是多少？
5. 一团云的 $\omega=0.38/M$。自转降到多少以下，它就不再增长？

类氢公式是向导，不是答案。下一章计算严格的增长率，并说明怎样确认它算对了：可复现地求出束缚云的增长率。