自相互作用怎样改变玻色云的自旋限制与引力波信号

这里读的是这篇论文arXiv第2版，日期2021年2月16日，正式发表于Phys. Rev. D 103, 095019 (2021)。Baryakhtar、Galanis、Lasenby、Simon，《自相互作用标量场的黑洞超辐射》，arXiv:2011.11646v2 下面提到的章节和图，我们都读过全文。我们没有与期刊排版版逐行对照，也没有复现其中任何一张图。本站复算过的只有Dolan的表I和放大表的一列，分别见可复现地求出束缚云的增长率和复算一份公开的超辐射放大表。

为什么只算自由场不够

前几章的增长率都把玻色子当作自由场。Brito、Cardoso、Pani，《超辐射》第5.6.2节 真实的类轴子粒子有势能，其中的四次项带来吸引性的自相互作用。论文把它的强度写成 $\lambda=\mu^2/f^2$，$\mu$ 是玻色子质量，$f$ 是衰变常数：$f$ 越小，自相互作用越强。

云一旦变密，自相互作用就会让玻色子在能级之间转移，把一部分推到无穷远，或推进黑洞。自相互作用足够强时，$211$ 能级，也就是前几章的 $l=m=1$ 基态，会在由 $f$ 决定的占据数上停止增长，远小于带走大量自转所需的规模。云于是处在准平衡里，自转只是慢慢下降。

图3：哪个能级胜出

图3画的是玻色子质量 $\mu$ 与衰变常数 $f$ 构成的平面，对象是一个 $10\,\mathrm M_\odot$、初始自转 $a_\ast=0.9$、寿命 $10^{10}$ 年的黑洞。不同阴影分别标出：黑洞被转慢到 $211$ 门槛的区域，自相互作用先让 $211$ 云饱和的区域，以及增长更快的 $322$ 能级接手的区域，后者出现在 $\mu\gtrsim4\times10^{-12}\,\mathrm{eV}$。灰色斜线标出其他能级起作用、演化尚未完整分析的区域。蓝色虚线是QCD轴子的质量与衰变常数关系，另有一条带子标出可能构成暗物质的类轴子粒子。

要点：排除的是两个参数构成的一片区域，而不是一段质量。斜线区域应当读作尚未解决的问题。

图9：自转的历史，不是增长率

图9给出 $10\,\mathrm M_\odot$ 黑洞的自转随时间下降的过程，对应两个质量：$\mu=8\times10^{-13}\,\mathrm{eV}$，$\alpha\approx0.06$；$\mu=2.5\times10^{-12}\,\mathrm{eV}$，$\alpha\approx0.19$。读它时要对照第VI节，作者在那里说明，自相互作用很强时会抑制自转下降。

我们的程序可以给出同样耦合下自由场的增长快慢作参照。$a=0.9$ 时，$\alpha=0.06$ 的 $211$ 振幅约16年增大到 $e$ 倍，$\alpha=0.19$ 约13小时。两者都远短于 $10^{10}$ 年。这就是为什么只看自由场时自转下降似乎无法避免，也是为什么在论文的分析里，决定结局的是自相互作用，而不是增长率。这个对比是我们另外加的。

图10：由实测自转得到的限制

图10把分析用到五个X射线双星上：Cyg X-1、GRS 1915+105、M33 X-7、GRO J1655-40、LMC X-1。对每一个，实线围出的参数区域表示，在误差范围内，自转下降可以确定地把黑洞转到实测自转以下；阴影区域表示有可能如此。作者把 $\alpha\gtrsim0.2$、$f$ 较小处的限制称为估计，因为那里的演化牵涉多个能级。

这张图能说明的东西受三点限制：

1. 自旋来自X射线谱的模型拟合，有自身的系统误差。
2. 每个系统假设的年龄，限定了云能作用多久。
3. 作者在第VI节指出，强自相互作用会抑制自转下降；由引力波并合得到的自旋，误差仍然很大。

图11对 $10^7\,\mathrm M_\odot$、$a_\ast=0.9$ 的超大质量黑洞重做了这件事，以 $4\times10^8$ 年的爱丁顿时间作为年龄。由于吸积和黑洞的历史都不清楚，作者只把它当作参考。

图12到图14：引力波

图12给出 $l=m=3$ 和 $l=m=4$ 能级在 $a_\ast=0.9$ 与 $0.99$ 时的增长率，取自论文引用的连分数计算，用于多能级演化。

图13给出 $211$ 玻色子成对湮灭为引力子所发引力波的峰值应变，对象是 $1\,\mathrm{kpc}$ 外的 $10\,\mathrm M_\odot$ 黑洞，同时标出信号持续时间和Advanced LIGO设计灵敏度。信号几乎是单色的，频率约为玻色子频率的两倍。标为 $f_{AB}$ 和 $f_{BC}$ 的边界划分了不同区域。在 $f_{AB}$ 以上，自相互作用很弱，云的行为与纯引力情形相同。

两个方程决定信号随时间的变化。云自由湮灭时，

在自相互作用区的晚期，应变按 $h\propto\sqrt{\tau_{\mathrm{scalar}}/t}$ 下降，其中 $\tau_{\mathrm{scalar}}\propto(f/M_{\mathrm{pl}})^4$。这是论文的式(97)和式(98)。自相互作用越强，信号越弱，持续越久。

图14预测这类信号能被观测到的数目。自耦合较弱时可达上千个；最可能被观测到的信号里，最短的也持续约 $10^4$ 年。这些数取决于假设的黑洞族群，不是观测结果。

仍未解决的问题

1. 图3中标为尚未完整分析的区域，以及图10里 $\alpha\gtrsim0.2$、$f$ 较小处的估计限制。
2. X射线双星自旋的系统误差，以及并合自旋的较大误差。
3. 超大质量黑洞的年龄、吸积与环境。
4. 至今没有探测到玻色云。论文里所有引力波数字都是预测。

Lab任务

1. 选“轻场慢慢长”预设，读出 $10\,\mathrm M_\odot$ 黑洞的e倍增长时间，与图3假设的 $10^{10}$ 年比较。
2. 在高级选项里把质量调到 $10^7\,\mathrm M_\odot$，再读同一个量，与图11用的 $4\times10^8$ 年比较。
3. Lab只算自由场的线性增长。写下论文里哪部分与Lab显示的内容最接近。

习题与解析

1. 为什么单凭e倍增长时间短，不能排除某个玻色子质量？
2. 在图13里，$f$ 变小时信号怎样变？
3. 如果某个黑洞的实测自转被下调，论文中哪些结果会变？

Lab里的自由场增长对应自相互作用很弱的极限，即 $f$ 高于 $f_{AB}$，而且只对应早期的线性阶段。可以到黑洞超辐射Lab里试一试。