薄盘在哪里发热

先读《黑洞周围的气体为什么会发光》。这一章还会用到圆周运动、力矩和功率；导数、积分只取这里需要的意义，随用随解释。读完后，你应能从角动量传输推出单位表面的发热率，并解释为什么“离黑洞最近”未必等于“局部最热”。

先把两种流动分清

我们研究一张平坦、很薄、绕质量为 $M$ 的中心天体转动的气体盘。 $R$ 是盘面内到中心的半径，单位为米； $G$ 是引力常量。取牛顿引力下的近圆轨道，忽略径向压力对绕转速度的修正。轨道角速度和单位质量的角动量分别为

\Omega(R)=\sqrt{\frac{GM}{R^3}},\qquad \ell(R)=R^2\Omega(R)=\sqrt{GMR}.

角速度 $\Omega$ 表示每秒转过多少弧度，单位为弧度每秒。比角动量 $\ell$ 的单位是平方米每秒。半径越小，转得越快；但每千克气体所带的角动量越少。

现在让气体缓慢向内流。用 $\dot M>0$ 表示每秒向内通过一个圆周的质量，单位为千克每秒。上面的点是“每单位时间”的记号。我们要求盘处于稳态：同一段时间内，从一圈流入的质量与从另一圈流出的相同，盘内不持续堆积物质，因此 $\dot M$ 不随半径改变。

物质向内，内部力矩把角动量向外传。这是两个不同方向的输运。记向外传递角动量的力矩大小为 $\mathcal G(R)$ ，单位为牛顿米。一个圆周处，随物质向内带来的角动量率是 $\dot M\ell$ ，力矩向外带走的是 $\mathcal G$ 。两者之差在稳态下处处相同：

\dot M\ell(R)-\mathcal G(R)=\text{常数}.

把盘的内边缘记为 $R_{\rm in}$ 。若内边缘力矩为零，将上式在这里代入，常数就是 $\dot M\ell(R_{\rm in})$ 。于是

\mathcal G(R)=\dot M\left[\ell(R)-\ell(R_{\rm in})\right].

“零内力矩”没有把流入气体的角动量设为零。气体仍带着 $\ell(R_{\rm in})$ 穿过内边缘；消失的是边缘处额外的力矩传输。Zimmerman 等人的第 2 节从同样的稳态和边缘条件得到薄盘温度分布。

力矩为什么能留下热

转动系统中，力矩乘角速度就是功率。取半径从 $R$ 到 $R+\mathrm dR$ 的一条窄圆环。向外的同一个角动量传递作用，在较快的一侧取走能量，在较慢的一侧交出能量。转速差决定了剩下的热功率：

\mathrm dL_{\rm heat} =\mathcal G(R)\left[-\frac{\mathrm d\Omega}{\mathrm dR}\right]\mathrm dR.

这里的导数 $\mathrm d\Omega/\mathrm dR$ ，就是把圆环取得很窄时，“转速改变了多少”除以“半径改变了多少”。开普勒转速向外降低，导数为负；前面的负号让热功率为正。

圆环每一面的面积约为 $2\pi R\,\mathrm dR$ ，上下两面合起来是 $4\pi R\,\mathrm dR$ 。若热在当地释放、从两面均匀辐射出去，每一面单位面积的辐射功率为

F(R)=\frac{\mathcal G(R)}{4\pi R} \left[-\frac{\mathrm d\Omega}{\mathrm dR}\right] =\frac{3GM\dot M}{8\pi R^3} \left(1-\sqrt{\frac{R_{\rm in}}R}\right).

单位是瓦每平方米。分母里的两面面积已经用过一次：以后若算整张盘的光度，要再用两面实际面积乘这个单面通量。若只是求单面温度，就直接使用 $F$ 。

这个推导要求气体足够有效地把局部热量辐射出去，忽略随气流向内带走的热，也忽略外部照射。力矩还会在不同半径之间传递能量。计算某一圈的发热率，需要同时考虑气体轨道能和力矩带来的能量传输。

温度最高的圆环

有效温度 $T_{\rm eff}$ 用总辐射功率定义。令 $\sigma$ 为 Stefan–Boltzmann 常量，则

T_{\rm eff}(R)=\left[\frac{F(R)}{\sigma}\right]^{1/4}.

这一定义只涉及全部频率加起来的能量。光谱形状用的颜色温度，要到下一章才引入。Li 等人的附录 E，式 E4–E5明确区分了这两个温度。

从单面通量的式子可以看出两个趋势： $R^{-3}$ 让靠内的圆环更热，括号里的边缘因子却让内端通量归零。两者竞争，出现了一个峰。设 $x=R/R_{\rm in}$ ，只需找函数 $x^{-3}(1-x^{-1/2})$ 的最大值。对它求导，令斜率为零：

-3x^{-4}+\frac72x^{-9/2}=0, \qquad x=\frac{49}{36}.

最热的地方在内边缘半径的约 1.36 倍处。内边缘变暗，来源是加热条件；它和黑洞的视界是两回事。

图 1：理想薄盘参考。半径以所选内边缘半径为单位；温度来自保存的单面发射模型。图中同时画出单面通量的相对值，便于比较温度的四次根怎样压缩变化幅度。

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例题：一张盘有多热

取 $M=2.00\times10^{31}\,\mathrm{kg}$ 、 $\dot M=1.00\times10^{14}\,\mathrm{kg\,s^{-1}}$ 。定义引力长度 $r_g=GM/c^2$ ，并选 $R_{\rm in}=6r_g$ 、 $R_{\rm out}=6000r_g$ ，其中 $c$ 是光速。先算半径，再代入发热率，最后取四次根：

\begin{aligned} r_g&=14.9\,\mathrm{km},& R_{\rm in}&=89.1\,\mathrm{km},\\ R_{T_{\max}}&=121\,\mathrm{km},& F_{\max}&=1.28\times10^{18}\,\mathrm{W\,m^{-2}},\\ T_{{\rm eff},\max}&=2.18\times10^6\,\mathrm K. \end{aligned}

温度取四次根，意味着发热率提高很多，温度才提高一点。把吸积率加倍，单面通量处处加倍，温度只增加约 19%。峰的位置保持不变，因为径向函数的形状没有变。

这里把牛顿发热律规定到所选内边缘。后续光传播计算使用 Schwarzschild 时空；这里的盘发热率并不是完整的相对论薄盘解。这种教学组合让我们可以分别研究发射和传播。

两个面总共放出多少能量

把每一条窄圆环的功率加起来，就是积分的意思。每条圆环用上下两面面积乘单面通量：

L_{\rm two\ faces}=\int_{R_{\rm in}}^{R_{\rm out}}4\pi R F(R)\,\mathrm dR.

代入前面的 $F(R)$ ，记 $q=R_{\rm in}/R_{\rm out}$ ，得到

L_{\rm two\ faces} =\frac{GM\dot M}{2R_{\rm in}} \left(1-3q+2q^{3/2}\right).

外边缘趋于无穷远时，括号趋于一，回到常见的总光度。半径有限时，最外面的凉环贡献被截去了，结果稍低。例题的半径比为千分之一，括号等于约 0.997063，两面总功率为 $7.47\times10^{29}\,\mathrm W$ 。

这个光度是各处按规定发热律释放的局部总功率。远方某个方向、某个孔径收到多少光，还要计算光路、频移和视角。下一章先把每处的总功率拆成不同频率的辐射。

练习与解释

1. 内边缘的发热率是零，质量还能流过那里吗？

能。质量流率和局部力矩是不同的量。气体带着非零轨道角动量穿过内边缘，而这项边缘条件只把那里的力矩设为零。

2. 同一张盘的吸积率增为原来的 16 倍，最高温度和总光度各变多少？

保持质量和半径不变，通量正比于吸积率，温度取通量的四次根。最高温度增为两倍，总光度增为 16 倍。这个计算还假定盘依然保持薄、局部辐射有效；若高吸积率破坏了这些条件，应换模型。

3. 在一幅计算图中，内边缘比外面任何地方都热。你先检查什么？

先检查内边缘的加热条件。有额外内力矩的模型可以在内边缘发热；零内力矩模型则应在那里降到零。然后再检查所画的是局部温度、每单位面积亮度，还是经过光路传播后的图像。这几种图回答的问题不同。

4. 进阶迁移：若内边缘半径加倍，其余参数不变，最热温度和无限外盘光度怎样变？

最高温度处的无量纲位置不变，通量尺度正比于内半径的负三次方；最高温度变为原来的 $2^{-3/4}\approx0.595$ 。无限外盘光度反比于内半径，减半。这是发射模型的解析比较；交互实验当前的离散状态统一使用 $R_{\rm in}=6r_g$ 。