一条光路先碰到哪一面盘

上一章给出了从发射端到远方的频率和强度变化。现在还缺一个输入：发射点在哪里？我们从观察者沿光路向回找，让盘的几何形状和透明程度决定答案。

穿过一个平面，未必碰到气体

薄盘模型把气体放在一张很薄的平面上，但只有内边缘与外边缘之间那一圈区域发光。内边缘里面是孔，外边缘外面则没有规定的盘气体。

先从最简单的直线视线想起。你看一张中间挖了洞的纸，视线穿过洞口时，可以继续看到后面；碰到纸面时，就看到纸本身。计算吸积盘图像时，也要区分“穿过所在平面”和“碰到不透明区域”。

薄盘在这里取光学厚的近似：沿光路很快就会被盘内物质吸收，盘面挡住后方的直接辐射。我们用最先碰到的表面作为发射处。Zimmerman 等人的第 2 节说明了局部热辐射所用的光学厚前提；Li 等人的引言描述了从观察者向盘追踪光路、再计算每个图像方向辐射的做法。

黑洞附近的光路弯得很厉害。一条从观察者回溯的路径，可能先靠近黑洞，再绕向远处。它每次越过盘面，都要检查当时离中心多远。

内孔的作用很直观：第一次过平面若在孔里，路径可以继续；后面若碰到发光圆环，我们就能看见那一处气体。已经碰到不透明盘面后，更后面的交点被遮住，不再作为这一个方向的直接光源。

这也是为什么盘的远侧能出现在意外的图像位置。盘面仍然是平的。光路弯折后，气体所在的位置与它在天空上出现的方向有了新的对应。

取这组计算中内边缘为 $9r_g$ 的盘，其中 $r_g=GM/c^2$ 。在 60 度视角，一条已保存的光路第一次穿过盘面时，半径约为 $6.72r_g$ 。这处落在内孔里，路径继续。下一次穿过时，半径约为 $10.1r_g$ ，已经进入发光区域，于是选择这一处。

这条路径上，所选气体的有效温度约为 147 万开尔文，到远方的频率比约为 0.990。先选交点，再取那个位置的温度和运动，最后使用上一章的传播关系。这几个步骤合起来，给出这一方向的辐射。

这些数值来自保存的模拟光路及其交点。后面的图用同一条路径的原始采样表示半径变化；它不是望远镜拍到的气体轨迹。图中内孔与发光区域的分界，统一取计算所用的内边缘。

如果一直没有碰到不透明盘面，路径会有别的结局。有的回溯路径进入黑洞的视界；有的经过黑洞附近后回到远处。在这里规定的暗背景下，这些没有盘面发射点的方向不贡献盘光。

但不能只看真空路径最后会不会进入视界，就决定一格一定是黑的。路径若先碰到盘面，图像已经有了来自那处气体的光。看见哪处盘面的问题，要排在真空路径的最终结局之前。

黑暗区域的大小还取决于光路的弯折。图像偏移、光线最小半径、盘面交点半径，是三个不同的量。引力弯折把它们联系起来。

在逃向远方和进入视界的真空路径之间，有一条临界分界。离它非常近的路径可以在黑洞附近绕很久。初始方向一点点改变，就可能让绕转次数和后续交点发生很大变化。

有限计算需要说明哪些方向已经算清，哪些还没有足够精度。这里把临界分界附近一条很窄的带保留为未解析区域，并给它可能贡献的辐射一个上界。画图时另作标记，光谱则同时说明已确定部分与这段可能遗漏的贡献。

已确定没有发射点的暗方向，和还没有算清的方向，意义不同。前者是模型给出的辐射结果，后者需要用误差范围表达。一个有限图像单元还可能覆盖许多条光路；它显示的强度取这些方向的面积平均。

1. 上面那条路径的两次穿越半径为 $6.72r_g$ 和 $10.1r_g$ 。如果只把规定内边缘从 $9r_g$ 改为 $6r_g$ ，哪一次会先碰到盘？

第一次已经在发光圆环内，所以先看见半径 $6.72r_g$ 处。比较的是同一条真空光路上的几何条件；内边缘改变后，取温度和辐射时也须使用相应的新发射模型。

2. 一条路径第一次碰到不透明圆环。若将这条真空路径继续向后延伸，还会遇到一块更热的圆环。这个方向能把两处的直接辐射相加吗？

不能。第一块不透明盘面遮住了后面的直接光源。若要研究透明或半透明气体，须另算沿途发射和吸收，不能直接把不透明表面的亮度逐个相加。

3. 一条路径最终进入视界，但在那之前穿过了发光盘面。这一方向属于“没有盘光”吗？

不属于。沿视线回溯时，先遇到的盘面已经提供了发射点。真空路径更后面的结局不会把这束已选出的直接辐射抹去。

4. 迁移任务：怎样判断一幅黑暗区域变大的图，是内孔变大，还是光路计算有一段尚未确定？

先看图是否把未解析方向单独标出，再检查所用的内边缘、相同天空孔径和辐射上界。已确定的光线与未解析带分开后，才能把内孔变化与计算的不确定程度区分开。