把不同温度的圆环加成一条光谱

上一章算出了每处的总辐射功率和有效温度。这一章把总功率分配到不同频率，再把各圈相加。需要知道频率、温度、圆环面积，以及上一章积分“把小份相加”的意思。读完后，你应能分清局部强度、表面通量、两面光度与远方接收通量，并预测增加吸积率会怎样移动光谱。

先看一小块表面向哪个方向发光

在某个半径上，取一小块盘面。用 $\nu$ 表示光的频率，单位是赫兹。理想黑体的比强度为

B_\nu(T)=\frac{2h\nu^3}{c^2} \frac{1}{\exp[h\nu/(k_{\rm B}T)]-1}.

这里 $h$ 是 Planck 常量， $k_{\rm B}$ 是 Boltzmann 常量， $c$ 是光速， $T$ 是温度。指数里的比值把光子能量与温度对应的能量尺度作比较。比值很大时，发出这种高能光子的机会很小，曲线会迅速降下去。

比强度的单位为 $\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,Hz^{-1}}$ 。它回答的是：沿某个方向，每单位垂直于光路的面积、每单位方向范围、每单位频率，带走多少功率。这里“方向范围”的量叫立体角，单位为球面度。一小片天空占的立体角，随着它在视野里铺开的面积增加。

表面向外的功率通量还要把所有发射方向加起来。斜着射出的光穿过同一片盘面时，要计入投影。对方向均匀的辐射，这个角度求和给出一个 $\pi$ ：

F_\nu=\int_{\rm outward\ hemisphere} I_\nu\cos\theta\,\mathrm d\Omega =\pi I_\nu.

$\theta$ 是光线与表面法线的夹角， $\Omega$ 表示立体角。比强度和表面通量之间，差了这一步方向积分。把强度直接当成单面通量，会少掉这个因子。

光谱更硬，总功率可以保持不变

上一章的有效温度只由总辐射功率定义。为了粗略描述盘表面对光谱的改变，可以给 Planck 曲线选一个更高的颜色温度：

T_{\rm col}=f_{\rm col}T_{\rm eff}.

规定的硬化因子 $f_{\rm col}$ 越大，曲线越偏向高频。但如果只把温度提高，全部频率加起来的能量也会随温度四次方增长，超过上一章提供的热功率。我们同时把强度乘一个稀释因子：

I_{\nu,\rm em} =f_{\rm col}^{-4}B_\nu(f_{\rm col}T_{\rm eff}).

把它对全部频率积分，再对出射方向积分，就有

\pi\int_0^\infty I_{\nu,\rm em}\,\mathrm d\nu =f_{\rm col}^{-4}\sigma(f_{\rm col}T_{\rm eff})^4 =\sigma T_{\rm eff}^4.

总功率恢复了原值，光在不同频率间的分布则变了。这个规定的修正让我们能先研究光谱变化；真实盘大气中的吸收和散射还需要更完整的辐射计算。Li 等人的附录 E，式 E4–E7给出了这种有效温度、颜色温度与稀释强度的关系。注意论文使用自然单位；上面的 SI 公式保留了 Planck 常量和光速。

例如，有效温度 218 万开尔文、硬化因子 1.7，对应的颜色温度约为 370 万开尔文。温度名称变了，上一章给定的单面总功率没有变。

外圈为什么能在低频端占优势

一条半径为 $R$ 、宽度为 $\mathrm dR$ 的圆环，每面面积是 $2\pi R\,\mathrm dR$ 。上下两面的总光度按频率分开写为

L_\nu =\int_{R_{\rm in}}^{R_{\rm out}} 4\pi^2R\,I_{\nu,\rm em}(R)\,\mathrm dR.

其中一个 $\pi$ 来自每个表面的方向积分，另一个来自圆环面积。这个式子把整个盘的两面都计入。

保存的多温度盘光谱与单温 Planck 形状参考，分别归一化 — 图 2：理想发射参考。纵轴按每个频率的对数间隔统计辐射，再将各条曲线的峰值分别归一化。蓝线来自已保存的两面总光谱；虚线是最高颜色温度处的单温 Planck 形状。这里尚未加入黑洞附近的光线传播。
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蓝线在低频端更宽，因为整张盘有许多比最高温度凉的圆环。它们各自发出的光，在较低频率处仍然丰富。与此同时，外圈面积很大，足以补偿较低的单位面积亮度。

可以用一个近似估算感受面积的作用。比较两条有相同相对宽度的圆环：每条的宽度都取半径的同一个小比例。后一条半径大 16 倍，面积就大 256 倍。远离内边缘时，温度近似按半径的负四分之三次方下降，后一条的温度约为前一条的八分之一。

若所选频率低到两圈都满足 $h\nu\ll k_{\rm B}T_{\rm col}$ ，Planck 强度近似正比于温度。凉环每单位面积只有约八分之一的强度，整圈却贡献约 32 倍。这就是低频辐射容易来自较大半径的原因。频率升高后，凉环进入指数衰减的一端，这个估算便失效，热内圈开始占优势。

一位远方观察者收到多少

远方观察者只收到朝向自己的光。先把光路当成直线，距离取 $D$ ，盘面法线与视线夹角取 $i$ 。整条圆环在天空占的立体角约为

\mathrm d\Omega_{\rm sky} =\frac{2\pi R\cos i\,\mathrm dR}{D^2}.

远方接收的比通量为

F_{\nu,\rm obs}^{\rm flat} =\frac{2\pi\cos i}{D^2} \int_{R_{\rm in}}^{R_{\rm out}}R I_{\nu,\rm em}(R)\,\mathrm dR.

它的单位为 $\mathrm{W\,m^{-2}\,Hz^{-1}}$ ，是观察者单位面积收到的功率，已经没有“每球面度”。它和两面光度的差别，是方向、距离与可见表面。Zimmerman 等人的式 6–8同样把接收光谱和两面总光度分开。

这个直线近似也让孔径的作用很清楚。若观察者只取天空的一块区域，积分只能加入落在那块区域里的盘光；遗漏的外圈尤其容易改变低频辐射。比较两种传播方法时，天空上取的范围应当相同。

靠近黑洞，弯折的光路、引力频移和气体运动会改变这幅简单图景。后续章节把每个方向的光追到第一次碰到不透明盘面的位置，再计算它到达远方的强度。当前配套图像只展示中心的较小区域，光谱则覆盖更大的固定天空孔径；显示画面裁小后，光谱仍保留整个固定孔径内的光。

例题：吸积率加倍，光谱只会变高吗

保持质量、半径、硬化因子和传播几何不变，把吸积率乘以 $\mu$ 。上一章给出

T_{\rm eff,\mu}(R)=\mu^{1/4}T_{\rm eff,1}(R).

当 $\mu=2$ 时，每个圆环的温度都提高约 19%。Planck 曲线向高频移动，同时增高。由 Planck 式直接代入，可得整张盘的光谱关系

L_{\nu,\mu}(\nu) =\mu^{3/4}L_{\nu,1}\!\left(\frac{\nu}{\mu^{1/4}}\right).

频率轴移动，纵轴也变化。对频率再积分时，还会多出一个频率尺度因子，总光度恰好增为 $\mu$ 倍。每个频率处的亮度，则要按照移动后的谱形重新读取。

这一关系也适用于固定的、与吸积率无关的光传播几何。配套计算保存了半倍、原值、两倍三个吸积率及三个视角；全部使用同一内边缘。在 60 度视角，固定天空孔径内已积分部分的总通量如下：


吸积率倍率	接收总通量
$\mu=1$	$5.58\times10^{-12}\,\mathrm{W\,m^{-2}}$
$\mu=2$	$1.12\times10^{-11}\,\mathrm{W\,m^{-2}}$

两倍关系来自已保存的计算值。临界光路附近一条很窄的未解析带另给上界，表中列的是已积分部分。表中的接收总通量包含同一孔径、全部频率的贡献。

练习与解释

1. 把硬化因子从 1 改为 2，保持有效温度不变。颜色温度和全部频率相加的通量怎样变？

颜色温度加倍。强度中的稀释因子变为十六分之一，恰好抵消温度四次方增加的 16 倍，总通量不变。若程序只换了 Planck 温度，漏掉稀释因子，就会多算 16 倍的能量。

2. 不改变盘，只把距离加倍，谱形和接收通量怎样变？

在远方小角度近似下，每个表面元的立体角减为四分之一。各频率接收通量都降为四分之一，谱形不变。盘本身的两面光度不变。

3. 同学把 $F_\nu$ 对波长直接求面积，声称得到了总功率。哪里需要修改？

每单位频率与每单位波长使用不同的分箱宽度。须满足 $F_\lambda\,|\mathrm d\lambda|=F_\nu\,|\mathrm d\nu|$ ，并使用 $\nu=c/\lambda$ ，所以 $F_\lambda=F_\nu c/\lambda^2$ 。先换成每单位波长的通量，再对波长积分，才会得到同一总功率。两个图的峰值位置也不必互相用光速直接换算。

4. 迁移任务：删去最外面的凉环，哪一端的光谱更容易改变？

先预测低频端受影响较大，再从各圈的温度与面积解释：凉环有很大的面积，低频光仍多；在高频端，它们本来已被指数抑制。这个判断适用于这里的热盘。若外圈还有独立的照射、谱线或尘埃辐射，需要把相应的发射过程另外算进去。