光走到远方，频率和亮度怎样改变

先读《把不同温度的圆环加成一条光谱》。这一章沿着一条光路比较盘面和远方的辐射，再把许多方向相加。你会用到比强度、Planck 曲线和频率积分；不需要先学会求解光线轨道。

谁量的频率

在盘面上，先想象一位跟着气体一起绕转的观察者。她测得光的发射频率 $\nu_{\rm em}$ 。远方另一位观察者测得 $\nu_{\rm obs}$ 。两个量都以赫兹为单位，但它们由不同地方、不同运动状态的时钟测得。

用一个无量纲比值连接这两个频率：

g=\frac{\nu_{\rm obs}}{\nu_{\rm em}}.

当 $g<1$ ，远方频率较低，称为红移；当 $g>1$ ，远方频率较高，称为蓝移。这里的比值包含引力和发光气体运动的共同影响。靠近黑洞发出的光，既可能因引力而红移，也可能因气体朝向观察者的运动而得到很强的蓝移。

每条光路都有自己的 $g$ 。先确定光从哪处气体、沿什么方向到达远方，才能计算它。盘的视角改变时，各条光路取到的气体位置和运动投影也跟着改变。

把两个频率上的强度对应起来

光在真空里传播，没有吸收、散射和新的发射时，一个重要的辐射传输关系是：比强度除以频率的三次方，沿光路保持不变。Li 等人的附录 E，式 E1–E3用这个关系把盘面辐射连接到远方。

注意比较的是同一束光在两处对应的频率。若远方频率取为 $\nu$ ，发射频率就是 $\nu/g$ ，因此

I_{\nu,\rm obs}(\nu) =g^3 I_{\nu,\rm em}\!\left(\frac{\nu}{g}\right).

三次方因子和频率移动要一起用。比如 $g=0.8$ ，远方某个频率的光，来自发射端高出四分之一的频率。若只把原光谱的高度乘上 $0.8^3$ ，却没有移动横轴，就会读错这束光原先处在光谱的哪里。

上一章规定的局部辐射是稀释 Planck 形状。代入后可以得到

g^3 f_{\rm col}^{-4}B_\nu\!\left(\frac{\nu}{g},f_{\rm col}T_{\rm eff}\right) =f_{\rm col}^{-4}B_\nu\!\left(\nu,gf_{\rm col}T_{\rm eff}\right).

右边把频移吸收进了温度。沿这一条光路看，Planck 形状相当于具有 $gf_{\rm col}T_{\rm eff}$ 的颜色温度。这个写法便于计算；气体本身的有效温度仍由盘面的发热率决定。整个盘包含许多不同温度和频移，整盘光谱要把各处的辐射分别算出再相加。

四次方多出来的那一次在哪里

记 $I_{\rm bol}$ 为把全部频率加起来的总强度，单位是 $\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}}$ 。名称里的 bolometric 指的就是这个全频率总量。对前面的比强度关系积分：

\begin{aligned} I_{\rm bol,obs} &=\int_0^\infty g^3 I_{\nu,\rm em}(\nu/g)\,\mathrm d\nu\\ &=g^4\int_0^\infty I_{\nu,\rm em}(\nu_{\rm em})\,\mathrm d\nu_{\rm em}\\ &=g^4I_{\rm bol,em}. \end{aligned}

第二步换了积分变量。因为 $\nu=g\nu_{\rm em}$ ，频率小段也变为 $\mathrm d\nu=g\,\mathrm d\nu_{\rm em}$ 。这就是额外的那一个 $g$ 。

三次方适用于对应频率处的比强度，四次方适用于全部频率的总强度。若只观察一个有限波段，先把两端频率和强度一起变换，再在这个范围内积分。

例题：从盘面正上方看一圈气体

在不旋转黑洞的模型里，设气体沿圆轨道运动，远方观察者位于盘面正上方。令 $r=R/r_g$ ，其中 $r_g=GM/c^2$ 。这时圆轨道气体的频率比为

g=\sqrt{1-\frac3r}.

这个式子已包含绕转气体的时间膨胀；对静止发光物体使用的引力频移式，描述的是另一种运动状态。Li 等人附录 F 的式 F1可在这一路径的轴向角动量为零时化到上式。

取 $r=12$ 。我们得到 $g=\sqrt{3/4}\approx0.866$ 。发射端频率为 $1.00\times10^{17}\,\mathrm{Hz}$ 的光，到远方变成 $8.66\times10^{16}\,\mathrm{Hz}$ 。在这两个对应频率上，比强度的比例约为 0.650；沿同一方向的全频率总强度比例则为 0.5625。

总强度减弱得比对应频率处的比强度更多，正是因为整条频率轴也被压缩了。

单光路 Planck 参考在频移前后的形状，两条曲线共用强度标度 — 图 1：单光路的 Planck 形状参考，参考盘的内边缘在六个引力半径处，发射点在十二个引力半径处。两条曲线共用发射峰值归一化；横轴是对数频率，图下面积不能直接当作全频率总强度。手机使用同数据的紧凑图。
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把一条光路放回整张图像

远方接收通量，是把天空上各个方向的比强度乘以它们占的立体角，再相加：

F_{\nu,\rm obs}=\int I_{\nu,\rm obs}\,\mathrm d\Omega_{\rm sky}.

光线弯折会改变盘面在天空占的形状和面积；频移则改变各条光路上的强度。二者在这个积分里一起出现。既然使用的已经是观察者天空上的立体角，就不再额外乘一遍平盘投影的余弦因子。

计算一个有限图像单元时，也要先在各个采样方向上求温度、频移和强度，再按面积相加。把一格内的频移先平均，再把平均值代进 Planck 式，通常不会得到同样的结果，因为 Planck 函数随温度的变化不是直线。

盘面发射采用的是前面推导的牛顿薄盘规定。Zimmerman 等人的第 2 节给出这部分的局部温度关系；这里再用 Schwarzschild 时空算光的传播。下一章会进一步确定：沿一条弯曲光路回看时，究竟先看见盘上的哪一处。

练习与解释

1. 若某条光路的频率比是二分之一，对应频率上的比强度和全频率总强度各剩多少？

分别剩八分之一和十六分之一。前者比较的是发射与接收两处对应的频率，后者还把压缩后的频率范围加了起来。

2. 频移后的光谱恰好更像一条较低温的 Planck 曲线，能否据此认定气体真的冷却了？

沿单条光路，改变频移和改变局部温度都能移动 Planck 形状。要判断气体是否冷却，还需要独立的光路、几何或温度信息。局部温度与传播效应应当分别计算。

3. 若 $g=2$ ，把同一条光路的总强度乘八倍，会漏掉什么？

会漏掉频率积分的宽度变化。对应频率上的比强度是八倍，全频率总强度则是 16 倍。能量落在哪一段频率里，也随蓝移改变。

4. 迁移任务：把倾斜盘转得更接近侧面，整张盘的总接收通量一定按余弦减少吗？

直线传播、方向均匀发射的平盘近似会给出余弦投影。靠近黑洞，光路弯折和绕转气体的频移同时改变图像；应先沿各方向计算辐射，再对同一片天空孔径积分。单个几何投影因子不足以决定这时的整盘亮度。