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Sandbox Physics

M047 · 能量平均

位力定理观测台

位力定理什么时候才真正成立？ 得是束缚运动，还得平均足够长时间。有限时间内，两倍平均动能和径向力项平均值之间，总差一个边界项：位置与动量乘积的变化，除以经过的时间。这一项是真实物理，不是数值误差。束缚轨道上这个乘积有界，时间越长，差值越接近零；逃逸轨道就不一定了。

跟踪幂律势和对数势中的束缚轨道与逃逸轨道。比较动能和径向力项的累计平均，保留有限时间留下的边界项，再用原始传感器读数重新检验这个关系。

交互模型位力定理观测台
平均势能就绪\text{就绪}
选中时间就绪\text{就绪}
质点半径就绪\text{就绪}
质点速度就绪\text{就绪}
动能就绪\text{就绪}
势能就绪\text{就绪}
平均动能的两倍就绪\text{就绪}
平均径向位力量就绪\text{就绪}
有限窗口边界项就绪\text{就绪}
有限窗口恒等式残差就绪\text{就绪}
特征时钟就绪\text{就绪}
最大能量误差就绪\text{就绪}
最大角动量误差就绪\text{就绪}
终点细化差就绪\text{就绪}
原始记录恒等式残差就绪\text{就绪}
初始束缚条件就绪\text{就绪}
采集轨迹测点数就绪\text{就绪}

物理教程

先看有限时间，再谈位力极限

背景这里的力总是沿着半径方向，它随距离怎样变化，由所选的引力源决定。

为什么值得理解把画面、算出的轨迹和另外采集的传感器读数对应起来看。

先抓重点

核心问题
位力定理什么时候才真正成立？
一句话直觉
有限时间里的边界项是真实的物理，不是数值误差。

核心数学模型

吸引型径向势

U(r)=An(rr0)n(n≠0)Ulog⁡(r)=Aln⁡(rr0)\begin{aligned}U(r)&=\frac A n\left(\frac r{r_0}\right)^n\quad(n\ne0)\\U_{\log}(r)&=A\ln\left(\frac r{r_0}\right)\end{aligned}

对数势是单独的一种选择，幂律势的能量零点不会为了衔接它而平移。测试质量为一千克。

瞬时位力恒等式

d(r⋅p)dt=2K−W,W=−r⋅F\frac{d(\mathbf r\cdot\mathbf p)}{dt}=2K-W,\qquad W=-\mathbf r\cdot\mathbf F

半径向外为正，力指向内，符号由此确定。

有限时间内的平均

2⟨K⟩T−⟨W⟩T=(r⋅p)(T)−(r⋅p)(0)T2\langle K\rangle_T-\langle W\rangle_T=\frac{(\mathbf r\cdot\mathbf p)(T)-(\mathbf r\cdot\mathbf p)(0)}{T}

时间窗口短时，物理边界项可以很大，恒等式照样精确成立。

幂律势与对数势的位力项

W=nU(n≠0)Wlog⁡=A\begin{aligned}W&=nU\quad(n\ne0)\\W_{\log}&=A\end{aligned}

只有边界项趋于零，才能得到熟悉的长时间能量关系。

守恒量

E=12m∣v∣2+U(r)Ly=m(zvx−xvz)\begin{aligned}E&=\frac12m|\mathbf v|^2+U(r)\\L_y&=m(zv_x-xv_z)\end{aligned}

轨道在水平面内。能量和角动量的误差，与位力残差分开报告。

常见难点

模型的前提

容易误解理想模型自然就能描述真实行星或已经松弛的星团。

正确理解引力源是给定的，质点不会反过来影响它，省略了哪些效应也都写明了。

动手实验

  1. 01

    比较势场

    依次试“Kepler 椭圆”“谐振势阱”“四次势约束”“对数势”。

    你会看到： 力的规律一变，累计平均也跟着变。
  2. 02

    保留边界项

    比较“短时观测”和更长的观测时间，并拖动选中时间。

    你会看到： 两个平均之差跟着物理边界项走；扣掉边界项后剩下的残差，才反映数值误差。
  3. 03

    检验前提

    把 Kepler 发射速度调到逃逸速度以上，观察边界项。

    你会看到： 逃逸的质点不满足有界运动这个前提，观测再久，关系也不一定能恢复。
  4. 04

    先采集，再加密步长

    采集算出的轨迹，看看原始估计值，再把积分步长减半。

    你会看到： 重采样和传感器噪声只影响原始估计，与每一步都算的数值平均无关。
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