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Sandbox Physics

M047 · 能量平均

位力定理观测台

跟踪幂势与对数势中的束缚及逃逸轨道。比较动能与径向力的运行平均，保留有限时间边界项，再从原始传感器记录核对关系。

交互模型位力定理观测台
平均势能就绪\text{就绪}
选中时间就绪\text{就绪}
质点半径就绪\text{就绪}
质点速度就绪\text{就绪}
动能就绪\text{就绪}
势能就绪\text{就绪}
平均动能的两倍就绪\text{就绪}
平均径向位力量就绪\text{就绪}
有限窗口边界项就绪\text{就绪}
有限窗口恒等式残差就绪\text{就绪}
特征时钟就绪\text{就绪}
最大能量误差就绪\text{就绪}
最大角动量误差就绪\text{就绪}
终点细化差就绪\text{就绪}
原始记录恒等式残差就绪\text{就绪}
初始束缚条件就绪\text{就绪}
采集轨迹测点数就绪\text{就绪}

物理教程

先看有限时间，再谈位力极限

背景径向力由源及其几何确定。

为什么值得理解连接场景、轨迹及独立采集的传感器记录。

先抓重点

核心问题
能量平均何时才成立？
一句话直觉
有限时间边界项是物理量，不应当作数值误差。

核心数学模型

吸引径向势

U(r)=An(rr0)n(n≠0)Ulog⁡(r)=Aln⁡(rr0)\begin{aligned}U(r)&=\frac A n\left(\frac r{r_0}\right)^n\quad(n\ne0)\\U_{\log}(r)&=A\ln\left(\frac r{r_0}\right)\end{aligned}

对数势为独立成员，幂势能零点不平移；测试质量为一千克。

瞬时位力恒等式

d(r⋅p)dt=2K−W,W=−r⋅F\frac{d(\mathbf r\cdot\mathbf p)}{dt}=2K-W,\qquad W=-\mathbf r\cdot\mathbf F

向外径向坐标与向内力决定符号。

有限时间核对

2⟨K⟩T−⟨W⟩T=(r⋅p)(T)−(r⋅p)(0)T2\langle K\rangle_T-\langle W\rangle_T=\frac{(\mathbf r\cdot\mathbf p)(T)-(\mathbf r\cdot\mathbf p)(0)}{T}

短窗口可有很大的物理边界项，同时仍精确满足恒等式。

幂势与对数极限

W=nU(n≠0)Wlog⁡=A\begin{aligned}W&=nU\quad(n\ne0)\\W_{\log}&=A\end{aligned}

仅当边界项消失时，才能得到熟悉的长时能量关系。

守恒量

E=12m∣v∣2+U(r)Ly=m(zvx−xvz)\begin{aligned}E&=\frac12m|\mathbf v|^2+U(r)\\L_y&=m(zv_x-xv_z)\end{aligned}

平面轨道位于水平面；能量及角动量误差与位力残差独立报告。

常见难点

前提边界

容易误解理想模型自动描述真实行星或已松弛星团。

正确理解引力源给定，质点无反作用，并明确省略效应。

动手实验

  1. 01

    比较势场

    尝试 Kepler 椭圆、谐振势阱、四次势约束及对数势。

    应该观察到： 力定律与运行平均同步变化。
  2. 02

    保留边界项

    比较短时观测与更长窗口，并拖动选中时间。

    应该观察到： 平均差跟随物理边界项，扣除后的残差诊断数值误差。
  3. 03

    检验前提

    将 Kepler 发射速度升至逃逸阈值以上，观察边界项。

    应该观察到： 逃逸质点不满足有界运动前提，延长时间不一定能恢复关系。
  4. 04

    采集与细化

    采集求解轨迹并查看原始估计，再减半积分步长。

    应该观察到： 原始重采样与传感器噪声独立于逐步数值平均。