M020 · 推力、重力与空壳负担

变质量火箭与分级取舍

多加一级，火箭速度一定更大吗？ 不一定。丢掉烧空的结构，让后面的燃烧少加速一点质量；多装的发动机与分离结构，也从一开始就在增加负担。推进剂和载荷相同，额外结构太重时，多级燃尽后的向上速度反而更小。这里的理想分离本身不额外增加速度。

调节质量流率、喷气速度、节流和分级，对照推力、质量比与重力损失。用同样的推进剂和载荷，比较多一级带来的收益与结构开销。

推力 $3.52\times10^{4}\,\mathrm{N}$

当前飞行器质量 $790\,\mathrm{kg}$

推进质量比 $1.48$

推进剂贡献的速度 $860\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

实际向上速度变化 $628\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

重力扣除的速度 $232\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

模型假设

一维质点飞行从瞬时静止、已经脱离支撑的状态开始，重力向下且均匀，也可关闭。没有地面、大气阻力、轨道曲率或行星模型。喷气沿轴向，以受控的相对速度离开火箭，忽略压强推力与发动机过渡；全开流率乘节流比例才是实际喷出流率，节流可关闭或至少为百分之一。每级结构质量等于推进剂质量乘结构比例，再加一份固定开销；方案比较保持载荷和总推进剂相同。下级燃尽后以当时速度脱离，不施加分离冲量，末级干质量保留。推进质量比是各段燃烧质量比的乘积，不把无推力丢掉的质量算成推进贡献。重力扣除项包含燃尽后的短暂滑行。飞行位移相对放大的硬件压缩显示，尾焰粒子只示意流动，不逐个追踪气体；油箱几何和液面为示意。不模拟化学能、喷口压强、分离机构，以及尾焰或废级的碰撞。滑块在所查看时刻重算试验，拖动油箱则准备新的装载。

物理教程

让下一次燃烧少背一点质量

背景火箭一边喷出推进剂，一边减轻自身质量。同样的推力，到燃烧后期能让剩余飞行器获得更大的加速度。丢掉烧空的下级有利于后续燃烧，多装的发动机和分离结构却从一开始就在增加质量。

为什么值得理解NASA Glenn 的理想火箭方程、推力方程，以及 Peraire 与 Widnall 的 MIT 第十四讲，给出这里使用的变质量动量平衡。分级结构质量的分配规则是明确给定的教学假设。

先抓重点

核心问题: 推进剂和载荷相同，多加一级什么时候划算？
一句话直觉: 每段燃烧只加速仍在飞行器上的质量。比较分级时，既要算带着结构飞的负担，也要算把它丢掉后的减负。

核心数学模型

质量流出，也带走动量

\dot M=-q,\qquad T=qu_e,\qquad M\dot v=T-Mg

速度向上为正。实际喷出流率等于全开质量流率乘节流比例；相对喷气速度保持给定值，忽略压强推力。

一段燃烧的速度变化

\Delta v_{\rm prop}=u_e\ln\frac{M_i}{M_f},\qquad v-v_i=\Delta v_{\rm prop}-g\Delta t

每段燃烧从上一段留下的速度开始计量，时间取本段经过的时长。整次试验从瞬时静止开始，末级燃尽后的短暂滑行仍受重力作用。

把燃烧质量比相乘

R_{\rm prop}=\prod_i\frac{M_{i,+}}{M_{i,-}},\qquad\Delta v_{\rm prop}=u_e\ln R_{\rm prop}

每个质量比取该段燃烧前后、尚未丢弃干结构时的质量。空级以当时速度脱离，因此分离瞬间没有额外速度冲量。

把新增结构也算进去

D_i=\epsilon P_i+D,\qquad M_0=M_p+(1+\epsilon)P+nD

比较保持载荷、总推进剂、喷气速度、流率和节流相同。每个下级分走所设比例的剩余推进剂，最后一级拿走余量。

跟着火箭划一个边界

\frac{d(Mv)}{dt}=-Mg-q(v-u_e)

这里的喷气速度相对惯性系计量。把喷出的气体和脱离的干结构一并算入，就能检查原来那一整份质量的动量平衡。

常见难点

把燃烧切段，不等于分级减重

容易误解把燃烧次数分得越多，速度就一定越大。

正确理解结构质量为零、喷气速度相同时，各段质量比相乘会还原成同一个结果。提前丢掉干质量，才改变后续燃烧要加速的质量。

真空与重力是两件事

容易误解没有空气，就没有重力损失。

正确理解两个预设都不含空气。只有关闭重力才移除向下的外力；在重力场里烧得更慢，扣除的速度更多。

动手实验

01
看空级离开
选择“丢掉已烧空的一级”，在第一次分离附近暂停。
你会看到： 当前飞行器质量突降，速度保持连续；接下来的燃烧加速一份更轻的质量。
02
让每一级付出结构代价
选择“多一级，也多一份负担”，比较表格三行。
你会看到： 即使推进剂和载荷相同，新增结构也会让三级燃尽时的向上速度小于一级。
03
让重力多作用一会儿
比较“让重力作用更久”与“关闭重力”。
你会看到： 推进剂贡献取决于燃烧质量比，重力扣除取决于经过的时间。