M080 · 一颗会变形的卫星

潮汐形变、锁定与碎裂

潮汐怎样让卫星锁定，又怎样把它撕裂？ 潮汐会把天体拉伸，内部摩擦能让自转逐渐与公转同步。拉伸超过天体所能承受的程度时，卫星就会碎裂。

跟随一颗会变形的卫星，看自转和轨道一起演化；再比较弱材料和强材料能否熬过同一次近距离掠过。

天体轴比 $1.25$

整体自转／瞬时公转角速度 $1.20$

尚存连接 $234$

黏性生热 $0$

天体受到的引力矩 $0$

模型假设

天体用粗粒度弹性节点网络表示，按引力和内部黏性共同演化。连接拉伸过大时断开，碎片仍彼此吸引，自转和轨道同时响应。材料为示意；节点触及主星表面时停止，不预测真实锁定年限，也不处理碰撞与吸积。

先抓重点

\begin{aligned}\mathbf a_i^{(p)}&=\frac{GM_p(\mathbf x_p-\mathbf x_i)}{|\mathbf x_p-\mathbf x_i|^3}\\\Delta\mathbf a_i&=\mathbf a_i^{(p)}-\frac1M\sum_jm_j\mathbf a_j^{(p)}\end{aligned}

减去各节点按质量加权的平均加速度，就能看见相对整体运动的引力拉伸。积分时对每个质量施加完整引力，也计算主星受到的反作用。

\begin{aligned}\mathbf F_{ij}&=[k_{ij}(\ell_{ij}-\ell_{ij,0})+c_{ij}\dot\ell_{ij}]\hat{\mathbf n}_{ij}\\\dot Q_{ij}&=c_{ij}\dot\ell_{ij}^{\,2}\ge0\end{aligned}

方向从第一个节点指向第二个节点，两端受等大反向力。拉伸应变超过阈值时连接断开，储存的弹性能计入断裂能。

\begin{aligned}L_z&=L_{\rm orbit}+L_{\rm internal}\\E_{\rm mechanical}+Q+E_{\rm fracture}&=E_{\rm initial}\end{aligned}

所有相互作用都是成对的中心内力，总角动量守恒。机械能可转为黏性热或断裂能；显示的残差反映数值积分误差。

\begin{aligned}\mathcal R&=\frac{\pi G\rho}{n^2}\simeq11.10\\\frac{r_{\rm Roche}}R&\simeq\left(\frac{4\times11.10}{3}\frac{M_{\rm p}}M\right)^{1/3}\end{aligned}

此参考假定均匀不可压缩流体、圆轨道同步自转，以及质量占优的主星。可断裂弹性网络的条件不同，断裂位置也未必落在这个圆上。

容易误解始终同一面朝向行星，说明卫星不转了。

正确理解在“完整轨道”中盯住金色表面标记。卫星绕主星运动时，在惯性空间里也转动。接近同步时，整体自转与公转角速度接近。碎裂后，这个比值描述整群碎片，已不能当成刚体转速。

01
看它慢慢同步
选择“慢慢同步”并播放，再将回放进度拖向终点，比较自转图和角动量图。
你会看到： 初始较快的自转逐渐接近公转，自转失去的角动量进入轨道，黏性热不断积累。
02
关掉内部耗散
选择“关闭耗散”，在相同回放时刻与“慢慢同步”比较。
你会看到： 引力仍可传递角动量，但机械能留在系统内，运动不会以相同方式平息。
03
同一次掠过，换一种材料
依次运行“潮汐碎裂”和“换成强材料”，查看“天体形变”“完整轨道”和“天体侧视”。
你会看到： 弱网络断裂，拉伸成碎片；强网络保持连接。弱材料试验中，节点触及主星表面时停止。

模型、单位与来源

一颗天体由 43 个带质量的节点组成，节点彼此有引力，相邻节点用弹簧和黏性阻尼连接。初始弹簧长度按所选自转速度求得，使孤立天体保持平衡；改变初始自转也会改变预应力。主星受到每个节点的反作用力。

\begin{gathered}G=M=R=1,\quad t_g=\sqrt{\frac{R^3}{GM}}\\E_g=\frac{GM^2}{R},\quad L_g=M\sqrt{GMR}\end{gathered}

长度以初始等体积球半径为单位。从轨道北极看，逆时针为正，轨道从远星点开始。内部引力采用 0.08 半径的 Plummer 软化；主星引力不软化。主星质量取 30，停止半径取 2.2；任何节点触及表面，模拟立即停止。不模拟接触碰撞、吸积、塑性流动、裂纹愈合和主星自转。

弹簧相对原长的拉伸应变超过阈值时断开，储存的弹性能转入断裂能，与黏性生热分开计算。断开的节点仍有引力。碎裂后的整体自转读数，是内部角动量除以极转动惯量，不再代表刚体转速。下方角动量和能量计算始终包含全部节点。

网络刚度按初始连接长度作各向同性估计，并非标定过的连续介质弹性模量。这是粗粒度、带方向性的教学网络，用来展示机制，不能预测真实卫星的锁定年限或解体距离。虚线 Roche 圆另作均匀流体的参考：圆轨道、同步自转、主星质量占优；它不是弹性网络的断裂阈值。

回放选取实际保存的积分帧。保守力用 velocity Verlet 积分，成对阻尼对称分步处理，将动能损失计入热。断裂事件最多细分到原步长的千分之一左右。可用“积分步长减半”比较数值误差；减小步长不会消除材料离散近似。