光学 043 · 干涉、相干、光腔与精密测量

薄膜颜色工作室

薄膜为什么会反射出颜色，倾斜一下颜色为什么就变了？ 每层上下两个表面的反射光彼此干涉。光程差由膜厚、折射率和入射角决定，有的波长加强，有的抵消，反射光就带上了颜色。斜着照时光程差变短，两种偏振的反射也不再一样，颜色随之改变。

在厚度放大的剖面里编辑单层膜或重复的双层膜堆。s 光和 p 光的相干传输矩阵给出固定曝光下的 D65 颜色、完整的功率谱，以及反射率随角度和波长变化的地图。

共同波长／反射与透射功率

\lambda_p,R_p,T_p

$0.50$

D65 亮度比例／首层往返相位

Y_R,Y_T,\delta_H

$50\%$

实际层数／总厚度／光谱能量守恒误差

N_\ell,D,\varepsilon_E

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

薄膜颜色工作室

H 层真实厚度（单层场景为唯一膜层）

d_H

350\,\mathrm{nm}

H 层折射率（不自动改变厚度）

n_H

1.33

L 层真实厚度（仅多层场景）

d_L

94.18\,\mathrm{nm}

L 层折射率（仅多层场景）

n_L

1.46

H–L 双层重复次数

N_{HL}

5

半无限基底折射率（1 为空气）

n_s

1

相对膜面法线的入射角

\theta_0

20^{\circ}

偏振：0 非偏振，1 s，2 p

j_{\mathrm{pol}}

0

反射谱共同采样波长

\lambda_p

550\,\mathrm{nm}

从平面肥皂膜开始，把厚度调到零：反射消失了，透射还在。试试 550 nm 的理想单层增透预设，再加上 H–L 双层，做成彩色的介质反射镜。改变入射角，比较两条偏振虚线光谱。样片色块、光谱和角度图都来自同一个解。拖动可旋转视角，用波长滑块测量。播放不会让干涉随时间变化。

膜层无限大、平整、无损，折射率为无色散的实数，基底为半无限厚。这里不模拟弯曲的气泡和流体，不优化任意膜堆，也不生成标定过的照片。

物理教程

检验薄膜颜色工作室的物理过程

背景透明薄膜的每个界面都会反射一部分光。光在膜层里走一个来回，积累的相位是 $\delta_j=\frac{4\pi n_jd_j\cos\theta_j}{\lambda}$ 。界面反射的正负号非常关键：两侧都是空气的平面肥皂膜，厚度趋于零时反射变暗，透射光依旧明亮。本 Lab 在每个界面上匹配场，膜内所有来回反射都算在里面，不是把两条不带符号的光线简单相加。

为什么值得理解薄膜为什么会反射出颜色，倾斜一下颜色为什么就变了？

先抓重点

核心问题: 薄膜为什么会反射出颜色，倾斜一下颜色为什么就变了？
一句话直觉: 无损镀膜只是把光分给两个出口： $R(\lambda)+T(\lambda)=1$ 。增透不是吸收。精确的四分之一波匹配层，只在正入射、一个设计波长上消除反射，并不能消掉整个可见光谱。高低折射率层成对重复，得到的则是一段反射带。倾斜入射会改变光学相位，把 s 和 p 分开。

核心数学模型

Snell 几何与层内相位

n_j\sin\theta_j=\sin\theta_0,\qquad\beta_j=\frac{2\pi n_jd_j\cos\theta_j}{\lambda},\qquad\delta_j=2\beta_j

角度从法线量起。在共同的出射波前上比较相位时，起决定作用的是余弦因子，不能只看层内更长的折线路程。折射率是恒定的实数；改变折射率时，厚度保持不变。

切向场特征矩阵

M_j=\begin{pmatrix}\cos\beta_j&-i\sin\beta_j/q_j\\-iq_j\sin\beta_j&\cos\beta_j\end{pmatrix},\quad q_j^{(s)}=n_j\cos\theta_j,\quad q_j^{(p)}=n_j/\cos\theta_j

时间谐波因子取负指数约定。矩阵把膜层后表面的切向电场和磁场，映射到前表面。相乘时按实际从前到后的顺序。对 p 偏振，切向振幅约定和全矢量约定的反射符号相反，反射率相同。

分别算出的反射功率和透射功率

\begin{aligned}M&=\prod_jM_j,\quad B=M_{11}+q_sM_{12},\quad C=M_{21}+q_sM_{22}\\r&=\frac{q_0B-C}{q_0B+C},\quad t=\frac{2q_0}{q_0B+C}\\R&=|r|^2,\quad T=\frac{q_s}{q_0}|t|^2,\quad R_u=\frac{R_s+R_p}{2}\end{aligned}

透射率含沿法线方向的能流因子，由透射振幅算出，不是直接取一减反射率。非偏振光要平均功率，不能平均复振幅。基底导纳的下标不表示 s 偏振。

只在一个设计点完全消反射

n_1=\sqrt{n_0n_s},\qquad d_1=\frac{\lambda_0}{4n_1},\qquad R(\lambda_0,0)=0

预设取的是这组理想值。滑块步长有限，会留下一点残余反射，小于显示精度。精确的数学设计另外单独检验。只要波长、角度、折射率或厚度偏离设计值，反射就会重新出现。

固定曝光下从光谱到颜色

(X,Y,Z)=\frac{\int_{360}^{830}S_{D65}(\lambda)R(\lambda)(\bar x,\bar y,\bar z)\,d\lambda}{\int_{360}^{830}S_{D65}(\lambda)\bar y(\lambda)\,d\lambda}

官方 CIE 1931 二度配色函数和 D65 数据每 1 nm 取样，用梯形法积分。把反射率换成透射率再算一遍，就得到透射色块。XYZ 先转成线性 sRGB，截到显示色域内，再编码。光谱不会按最亮点重新归一化。样片画成不受光照影响的色块，不按物理渲染周围环境的反射。

常见难点

彩虹表面不等于薄膜计算

容易误解随便一个虹彩材质着色器，都能正确模拟肥皂泡和所有光学镀膜。

正确理解颜色必须由求解出的光谱、光源和观察者共同决定。本模型的基底是半无限的，膜层平直、无损，只能编辑单层，或重复相同的双层。气泡曲率、流动膜层的厚度分布、吸收、材料色散和逐层任意设计，都需要另外的模型。

动手实验

01
场景 1：空气中的平面肥皂膜
把肥皂膜厚度调到零，再慢慢加厚。截面真的在变厚；颜色由光谱算出，不是随时间播放的动画。
你会看到： 肥皂膜薄到消失时，不再反射，透射的仍是全部功率。
02
场景 2：单层增透膜
选择增透膜，在 550 nm 处取样。膜层不动，只改变波长或角度，看消反射怎样失效。
你会看到： 设计波长上的理想增透，不一定让日光下的反射正好全黑。
03
场景 3：五双层介质反射镜
选择多层场景，编辑两种厚度、两种折射率、重复次数与基底，再对比斜入射的 s 与 p。
你会看到： 介质反射镜只在一段反射带内反射，不是处处完美反射。角度图显示了反射随波长和偏振的变化。

薄膜颜色工作室

检验薄膜颜色工作室的物理过程

核心数学模型

Snell 几何与层内相位

切向场特征矩阵

分别算出的反射功率和透射功率

只在一个设计点完全消反射

固定曝光下从光谱到颜色

常见难点

彩虹表面不等于薄膜计算

动手实验

场景 1：空气中的平面肥皂膜

场景 2：单层增透膜

场景 3：五双层介质反射镜

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