M088 · 一根弹簧，两种运动

弹簧摆与内共振

拉长弹簧，轻推摆锤，再释放。调节小振幅频率比，看伸缩与摆动交换能量；加入侧向初速度，观察真正的三维运动。

模型时刻 $\text{Ready}$

伸缩能量 $\text{Ready}$

摆动能量 $\text{Ready}$

高于平衡态的总能量 $\text{Ready}$

相对能量误差 $\text{Ready}$

竖直角动量 $\text{Ready}$

STRETCH / SWING / EXCHANGE

轻轻一推，运动就变了。

小振幅频率比

\omega_r/\omega_s

2.00\,

初始相对负载平衡位置的伸长

r_0-\ell_e

0.18\,

初始倾角（度）

\theta_0

3.00\,

初始侧向速度

v_{z,0}

0.00\,

使用半步长

b_h

0.00\,

单位：负载平衡长度、摆锤质量与重力加速度均归一。时间单位为平衡长度除以重力加速度的平方根；能量单位为质量、重力加速度和平衡长度的乘积。竖直向上为正，释放位置在水平—竖直平面，侧向速度沿第三轴。

频率控制同时改变刚度与无负载长度，保持负载平衡长度不变。频率比是小振幅参考，不是测得的非线性频率。弹簧无质量，只产生轴向 Hooke 拉力或压力；线圈与摆锤尺寸示意。不含弯曲、线圈碰撞、空气阻力或外部驱动。

笛卡尔速度 Verlet 步长为 0.005 或 0.0025；每 0.04 记录一次，终止于时刻 120。半径低于 0.12 时退至上一条已存状态结束。误差按初始高于平衡态的能量归一，最大值只覆盖已存样本。伸缩与摆动能量构成精确坐标分解，不是分别守恒的简正模。

完全竖直的初态在理想对称模型中始终竖直；激发摆动需要横向种子。三维预设具有真实离面运动；不诊断 Lyapunov 指数、混沌窗口、锁模或普适的阶跃进动。地面仅作视觉参考，不产生碰撞。

三维理想轴向弹簧与质点；不含弹簧质量、屈曲、阻尼，不宣称实测数据。

先抓重点

核心问题: 以竖直振动为主的释放，为什么会长出大幅摆动？
一句话直觉: 接近二比一的小振幅频率比时，微小的横向种子可以从伸缩运动获取能量。

核心数学模型

统一的笛卡尔力学

\ddot{\mathbf r}=-k(r-\ell_0)\frac{\mathbf r}{r}-\hat{\mathbf y}

质量与重力加速度归一，竖直坐标向上；弹簧力始终沿悬点的径向。

两个小振幅时钟

\omega_r=\sqrt{k},\quad\omega_s=1,\quad\ell_0=1-\frac1k

负载平衡长度固定为一。这是线性化频率，不是非线性频率测量。

伸缩坐标能量

E_r=\frac{\dot r^2}{2}+\frac{k(r-1)^2}{2}

围绕负载平衡位置配方后的势能已包含径向重力贡献。

摆动坐标能量

E_s=\frac{|\dot{\mathbf r}|^2-\dot r^2}{2}+r+y,\quad E=E_r+E_s

此精确非负分解包含横向动能与方向相关的重力势能；两部分不分别守恒。

另一项守恒核对

L_y=z\dot x-x\dot z=\mathrm{constant}

弹簧为中心力，重力对竖直轴没有力矩。

常见难点

种子不可省略

容易误解完全竖直的释放，最后必然会摆起来。

正确理解对称的竖直运动子空间保持不变。初始倾角或侧向速度为摆动提供种子。

内共振没有外部电机

容易误解摆动变大，说明系统能量增加。

正确理解能量由伸缩运动供给。这个自由保守模型没有电机，也没有周期刚度调制。

动手实验

01
在共振附近释放
选择共振交换，按播放，也可拖动时间条查看完整记录。
应该观察到： 橙色伸缩能量条缩短时，蓝色摆动能量条增长，之后反向交接。
02
偏离共振比较
保持相同初始伸长与倾角，选择偏离共振。
应该观察到： 横向运动增长明显减弱，负载平衡长度仍保持不变。
03
去掉横向种子
选择完全竖直。
应该观察到： 摆锤进入精确竖直简谐极限，摆动能量保持为零。
04
打开第三个方向
选择三维释放，比较正视与俯视。
应该观察到： 轨迹离开初始平面，竖直角动量保持不变。
05
核对数值精度
使用半步长，对比记录中的最大能量误差。
应该观察到： 二阶积分减小能量误差，物理初态保持相同。

核心数学模型

统一的笛卡尔力学

两个小振幅时钟

伸缩坐标能量

摆动坐标能量

另一项守恒核对

常见难点

种子不可省略

内共振没有外部电机

动手实验

在共振附近释放

偏离共振比较

去掉横向种子

打开第三个方向

核对数值精度