M088 · 一根弹簧，两种运动

弹簧摆与内共振

弹簧上下伸缩的能量，能转给左右摆动吗？ 能，只要伸缩振动的频率接近摆动频率的两倍。这时一点点横向扰动就会长大：能量从上下伸缩流进左右摆动，再流回来，反复交换，总能量几乎不变。

把弹簧拉长，轻推一下摆锤，然后松手。调节两个小振幅频率之比，看能量怎样在伸缩和摆动之间来回转移；再加一个侧向初速度，看摆锤在三维空间里怎么动。

模型时刻 $\text{Ready}$

伸缩能量 $\text{Ready}$

摆动能量 $\text{Ready}$

高于平衡态的总能量 $\text{Ready}$

相对能量误差 $\text{Ready}$

竖直角动量 $\text{Ready}$

能量在伸缩和摆动之间来回交换

轻轻一推，运动就变了。

小振幅频率比

\omega_r/\omega_s

2.00\,

初始相对负载平衡位置的伸长

r_0-\ell_e

0.18\,

初始倾角（度）

\theta_0

3.00\,

初始侧向速度

v_{z,0}

0.00\,

使用半步长

b_h

0.00\,

单位取负载平衡长度、摆锤质量和重力加速度都为一。时间单位是平衡长度除以重力加速度的平方根，能量单位是质量、重力加速度和平衡长度三者的乘积。竖直向上为正。摆锤在水平轴和竖直轴构成的平面里释放，侧向速度沿第三根轴。

频率控制同时改变刚度和无负载长度，负载平衡长度保持不变。显示的频率比是小振幅下的参考值，不是测出来的非线性频率。弹簧没有质量，只沿轴向产生服从 Hooke 定律的拉力或压力；线圈和摆锤的大小只是示意。模型不含弯曲、线圈碰撞、空气阻力和外部驱动。

用笛卡尔坐标下的速度 Verlet 积分，步长 0.005 或 0.0025，每隔 0.04 保存一次，直到时刻 120。半径一旦小于 0.12，记录就退回上一个已存状态并结束。误差读数以初始时高出平衡态的能量为基准，最大值只统计已存的样本。伸缩能和摆动能是按坐标对能量的精确拆分，并不是各自守恒的简正模。

在这个理想的对称模型里，完全竖直的初态会一直保持竖直，要激发摆动，必须先给一点横向扰动。三维预设里有真正的离面运动。这里不诊断 Lyapunov 指数、混沌窗口、锁模，也不判断普适的阶跃进动。地面只作视觉参考，摆锤不会和它碰撞。

一个质点挂在理想弹簧上，弹簧只沿自身方向出力，质点可以在三维空间里运动。弹簧没有质量，不会屈曲，也没有阻尼。这里显示的是模拟结果，不是实测数据。

先抓重点

核心问题: 以竖直振动为主的释放，为什么会长出大幅摆动？
一句话直觉: 小振幅下的伸缩频率接近摆动频率的两倍时，一点点横向扰动就能从伸缩运动里吸走能量。

核心数学模型

笛卡尔坐标下的运动方程

\ddot{\mathbf r}=-k(r-\ell_0)\frac{\mathbf r}{r}-\hat{\mathbf y}

取质量和重力加速度都为一，竖直坐标向上。弹簧力始终沿着质点和悬点的连线。

小振幅下的伸缩与摆动频率

\omega_r=\sqrt{k},\quad\omega_s=1,\quad\ell_0=1-\frac1k

挂上质点后的平衡长度固定为一。这两个频率来自线性化方程，不是从非线性运动里测出来的。

伸缩运动的能量

E_r=\frac{\dot r^2}{2}+\frac{k(r-1)^2}{2}

弹簧势能围绕挂重后的平衡位置配方，沿弹簧方向的那部分重力已经算在里面。

摆动运动的能量

E_s=\frac{|\dot{\mathbf r}|^2-\dot r^2}{2}+r+y,\quad E=E_r+E_s

这样分解总能量是精确的，两部分都不会为负。摆动部分包括横向动能和随弹簧方向变化的重力势能。两部分各自都不守恒。

绕竖直轴的角动量

L_y=z\dot x-x\dot z=\mathrm{constant}

弹簧力是中心力，重力对竖直轴没有力矩，这个角动量就保持不变。

常见难点

摆动需要种子

容易误解完全竖直地释放，迟早也会摆起来。

正确理解从完全竖直开始的运动会一直保持竖直，没有任何东西打破这种对称。要靠初始倾角或侧向速度，给摆动一个小小的起点。

内共振不需要外部驱动

容易误解摆动变大，说明系统获得了能量。

正确理解能量来自伸缩运动。这个模型是自由的保守系统，没有电机，刚度也不随时间变化。

动手实验

01
在共振附近释放
选择共振交换，按播放，也可以拖动时间条看完整记录。
你会看到： 橙色伸缩能量条变短时，蓝色摆动能量条变长；之后能量又流回去。
02
偏离共振再比较
选择偏离共振，初始伸长和倾角保持不变。
你会看到： 横向运动长得慢得多，挂重后的平衡长度不变。
03
去掉横向种子
选择完全竖直。
你会看到： 摆锤只上下做严格的简谐振动，摆动能量一直是零。
04
打开第三个方向
选择三维释放，比较正视图和俯视图。
你会看到： 轨迹离开初始平面，绕竖直轴的角动量保持不变。
05
检查数值精度
打开使用半步长，比较记录中的最大能量误差。
你会看到： 二阶积分器的能量误差变小，物理初态没有改变。

核心数学模型

笛卡尔坐标下的运动方程

小振幅下的伸缩与摆动频率

伸缩运动的能量

摆动运动的能量

绕竖直轴的角动量

常见难点

摆动需要种子

内共振不需要外部驱动

动手实验

在共振附近释放

偏离共振再比较

去掉横向种子

打开第三个方向

检查数值精度