M081 · 固定端点的作用量

稳定作用量实验室

真实路径一定具有最小作用量吗？ 不一定。真实路径让作用量取驻值：路径稍微变一点，作用量在一阶上不变。时间短时，这个驻值是极小值；时间够长、越过共轭点之后，它可能变成鞍点。拿弹簧振子来说，运动时间超过半个周期就是这样。

端点固定，拖动一条候选路径。在自由运动、均匀重力和谐振动中，比较作用量、一阶变分和运动方程的残差。再从极小走到鞍点，检验共轭时刻端点相容和不可能两种情形。

回放时间 $\text{Pending}$

经过时段 $\text{Pending}$

候选位置 $\text{Pending}$

候选速度 $\text{Pending}$

候选作用量 $\text{Pending}$

基线作用量 $\text{Pending}$

相对基线的作用量变化 $\text{Pending}$

选中模态斜率 $\text{Pending}$

选中模态曲率 $\text{Pending}$

六模态梯度范数 $\text{Pending}$

牛顿残差均方根 $\text{Pending}$

积分求积差异 $\text{Pending}$

负曲率方向数 $\text{Pending}$

参考分类 $\text{Pending}$

端点相容性 $\text{Pending}$

投影驻定性 $\text{Pending}$

改变设置，比较轨迹

真实路径一定具有最小作用量吗？

系统：自由 / 重力 / 谐振子

\mathcal M

2.00\,

粒子质量

m

1.00\,kg

谐振角频率

\omega

1.00\,rad/s

均匀重力加速度

g

1.00\,m/s^2

时段尺度

T/T_0

0.70\,

固定初始位置

q_0

0.50\,m

固定末端位置

q_T

-0.20\,m

扫描正弦模态

n

1.00\,

正弦振幅 1

a_1

0.60\,m

正弦振幅 2

a_2

-0.20\,m

正弦振幅 3

a_3

0.00\,m

正弦振幅 4

a_4

0.00\,m

正弦振幅 5

a_5

0.00\,m

正弦振幅 6

a_6

0.00\,m

回放时间

t/T

0.00\,\%

橙色控制点同时调整六个正弦振幅，振幅滑块支持键盘操作。谐振动的时段以半周期为单位，其他系统以一秒为单位。只有端点相容时，“恢复参考”才会把六个偏离全部清零。变分扫描只沿选中的一个方向增加振幅。

一个粒子做自由运动，或处在均匀重力势、精确谐振子势中。所有路径端点相同且固定，彼此只差六个可编辑的正弦模态。只有端点相容时才有解析参考；在共轭时刻，它只是一族不唯一的解中的一条。投影到六个模态上的梯度和连续的牛顿残差，是两项独立的检查。

先抓重点

核心问题: 真实路径一定具有最小作用量吗？
一句话直觉: 一阶变分为零，挑出的是真实运动；二阶变分再判断它是极小、有平坦方向，还是鞍点。

核心数学模型

端点固定的作用量

S[q]=\int_0^T\left(\frac{m\dot q^2}{2}-V(q)\right)dt,\qquad q(0)=q_0,\ q(T)=q_T

作用量是拉格朗日量对时间的积分，不是总能量的积分。中间的路径怎么改，端点都不动。

作用量驻定给出牛顿运动

\delta S=-\int_0^T\left(m\ddot q+V^{\prime}(q)\right)\eta(t)dt,\qquad\eta(0)=\eta(T)=0

真实路径上，力残差为零。六个模态上的梯度只检验能编辑的那几个方向；图上画的残差检验的是连续的运动方程。

可编辑路径保持端点

q(t)=q_b(t)+\sum_{n=1}^{6}a_n\sin\frac{n\pi t}{T}

端点相容时，基线就是解析的真实路径。谐振子端点无法相容时，基线改用两端之间的直线，并明确标出没有物理解。

曲率决定极小或鞍点

\Delta S=\frac m4\sum_{n=1}^{6}a_n^2\left(\frac{n^2\pi^2}{T}-\omega^2T\right)

在相容的谐振参考路径附近，一阶变分为零。半波长太长的模态会降低作用量，更高阶的模态仍让它升高。自由运动和均匀重力下，频率项为零。

共轭时刻要求端点相容

\omega T=k\pi\quad\Longrightarrow\quad q_T=(-1)^kq_0

这个条件严格成立时，一对端点可能有无穷多条真实路径，也可能一条都没有。平坦模态选不出唯一的路径。时段控件以谐振半周期为基本尺度。

独立检验数值积分

\epsilon_Q=\left|S_{\rm Simpson}-S_{\rm closed}\right|

显示的作用量来自闭式二次表达式。另用 512 个区间的复合 Simpson 求积独立检验路径积分；两者的差不是完整的误差界。

常见难点

驻定不总是极小

容易误解真实路径的作用量，一定比附近每条路径都小。

正确理解时段一超过谐振半周期，就会出现负曲率方向，驻定路径成了鞍点。

平坦不代表唯一

容易误解斜率和曲率都是零，就选出了唯一的运动。

正确理解共轭时刻端点相容时，沿平坦方向有一整族真实路径。

不可能的端点就是无解

容易误解任意两个端点位置，都能用谐振路径连起来。

正确理解共轭时刻端点不相容就没有解；那条直线基线只是可以编辑的候选路径。

六个模态只检验六个方向

容易误解六个小导数，就证明了所有方向上都驻定。

正确理解有限基只检验六个方向；还要另外看连续方程的残差和解析参考。

动手实验

01
回到极小
选择“短时段极小”，再点“恢复参考”。
你会看到： 斜率和力残差都趋于零；沿第一模态扰动路径，作用量会升高。
02
寻找鞍点
选择“驻定鞍点”，比较第一和第三模态。
你会看到： 绕着同一条驻定路径，一个模态让作用量降低，另一个让它升高。
03
检验共轭时刻的端点
比较“共轭时刻路径族”和“不可能端点”两个预设。
你会看到： 沿平坦方向的一族真实路径，和根本没有经典解的端点，是两种不同的情形。
04
编辑路径并检查
拖动橙色控制点，比较梯度、残差和求积差异。
你会看到： 端点始终不动，精确作用量和独立求积的结果相互吻合。