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Sandbox Physics

M081 · 作用量 / 边值问题

稳定作用量实验室

固定端点并拖动候选路径。比较自由运动、均匀重力和谐振动中的作用量、一阶变分与方程残差；从极小走到鞍点，检验共轭时刻的相容或不可能端点。

交互模型稳定作用量实验室
回放时间Pending\text{Pending}
经过时段Pending\text{Pending}
候选位置Pending\text{Pending}
候选速度Pending\text{Pending}
候选作用量Pending\text{Pending}
基线作用量Pending\text{Pending}
相对基线的作用量变化Pending\text{Pending}
选中模态斜率Pending\text{Pending}
选中模态曲率Pending\text{Pending}
六模态梯度范数Pending\text{Pending}
牛顿残差均方根Pending\text{Pending}
积分求积差异Pending\text{Pending}
负曲率方向数Pending\text{Pending}
参考分类Pending\text{Pending}
端点相容性Pending\text{Pending}
投影驻定性Pending\text{Pending}

物理教程

一阶变分与曲率回答不同问题

背景候选历史连接预设端点，真实历史满足运动方程。

为什么值得理解稳定作用量原理及其二阶变分解释真实路径为何可以是鞍点。

先抓重点

核心问题
真实路径一定具有最小作用量吗？
一句话直觉
零一阶变分识别运动，二阶变分区分极小、平坦方向和鞍点。

核心数学模型

一个固定端点泛函

S[q]=∫0T(mq˙22−V(q))dt,q(0)=q0, q(T)=qTS[q]=\int_0^T\left(\frac{m\dot q^2}{2}-V(q)\right)dt,\qquad q(0)=q_0,\ q(T)=q_T

作用量积分的是拉格朗日量，不是总能量；内部路径变化时端点保持固定。

驻定恢复牛顿运动

δS=−∫0T(mq¨+V′(q))η(t)dt,η(0)=η(T)=0\delta S=-\int_0^T\left(m\ddot q+V^{\prime}(q)\right)\eta(t)dt,\qquad\eta(0)=\eta(T)=0

真实路径的力残差为零。六模态梯度只检验可编辑子空间，绘制的残差则检验连续方程。

可编辑路径保持端点

q(t)=qb(t)+∑n=16ansin⁡nπtTq(t)=q_b(t)+\sum_{n=1}^{6}a_n\sin\frac{n\pi t}{T}

相容时基线为解析真实路径；谐振子端点不可能相容时，基线采用直线插值并明确标记无物理解。

曲率决定极小或鞍点

ΔS=m4∑n=16an2(n2π2T−ω2T)\Delta S=\frac m4\sum_{n=1}^{6}a_n^2\left(\frac{n^2\pi^2}{T}-\omega^2T\right)

相容谐振参考的一阶变分为零。半波长过长的模态会降低作用量，高阶模态仍可提高作用量；自由运动与均匀重力将频率项置零。

共轭时刻要求端点相容

ωT=kπ⟹qT=(−1)kq0\omega T=k\pi\quad\Longrightarrow\quad q_T=(-1)^kq_0

满足精确条件时，一对端点可能有无限多真实路径，也可能无解；平坦模态并不选出唯一路径。时段控件以谐振半周期为基准尺度。

独立审计数值求积

ϵQ=∣SSimpson−Sclosed∣\epsilon_Q=\left|S_{\rm Simpson}-S_{\rm closed}\right|

显示值采用闭式二次作用量，以 512 个区间的复合 Simpson 求积审计路径积分；该差异不是完整误差界。

常见难点

驻定不总是极小

容易误解真实路径必然优于每条邻近路径。

正确理解超过谐振半周期后会出现负曲率方向和驻定鞍点。

平坦不代表唯一

容易误解零斜率和零曲率选出一种运动。

正确理解相容共轭端点沿平坦方向存在真实路径族。

不可能端点仍不可能

容易误解任意两个端点位置都存在谐振路径。

正确理解共轭时刻不相容端点无解，直线基线只是可编辑候选。

投影有其范围

容易误解六个小导数证明所有可能方向都驻定。

正确理解有限基只检验六个方向；需另看连续方程残差与解析参考。

动手实验

  1. 01

    恢复极小

    选择短时段并恢复参考。

    应该观察到： 斜率和力残差趋于零，一阶模态扰动提高作用量。
  2. 02

    寻找鞍点

    选择驻定鞍点，比较第一和第三模态。

    应该观察到： 围绕同一驻定路径，一个降低作用量，另一个提高。
  3. 03

    检验共轭端点

    比较路径族与不可能端点预设。

    应该观察到： 平坦真实路径族与不存在经典解的端点对不同。
  4. 04

    编辑并审计

    拖动橙色控制点，比较梯度、残差与求积差异。

    应该观察到： 端点保持固定，精确作用量与独立求积保持一致。