M017 · 力、位移与记忆

弹簧定律标定台

一个刚度能描述弹簧的整个加载行程吗？ 要看位移区间，也要看加载历史。局部近似直线时，斜率才适合用一个刚度概括；移动拟合区间，就能发现刚度变化。保守的非线性弹簧沿原路返回，摩擦滑块才产生有耗散面积的回线。预伸长会偏移力，反向后的弹性段还会暂时改变拟合斜率。

对四种弹簧做加载与卸载，在所选区间拟合力与位移。分清预伸长、非线性刚度与摩擦回线，看看一个刚度能用到哪里。

当前保持力 $6.72\,\mathrm{N}$

区间拟合斜率 $49.7\,\mathrm{N\,m^{-1}}$

完整一圈的耗散 $0.27\,\mathrm{J}$

测力拟合残差均方根 $0.0231\,\mathrm{N}$

模型假设

执行器规定缓慢的正弦往复行程，忽略惯性。理想双向测力计读出弹性核心与并联 Jenkins 元件的合力；后者由每米一百牛顿的弹簧和理想库仑滑块串联而成。正式记录前先做两圈预循环。预伸长只作用于弹性核心，滑块保留自己的历史。线性、分段线性、三次硬化及反双曲正弦软化定律用于教学，并非画面中金属线圈的材料标定；过渡长度为六十毫米。编码器位移与时间精确，只有力叠加独立高斯噪声。直线只拟合选中分支和区间，截距同时受预加载、滑块记忆和曲率影响。拟合标准误不含仪器标定与模型误差。外力做功等于储能变化加摩擦耗散，不计算温度、蠕变、屈曲、断裂或真实弹簧丝几何。

先抓重点

核心问题: 拟合斜率什么时候代表弹簧刚度，什么时候又混入了曲率与加载历史？
一句话直觉: 把加载、卸载并排看，再移动拟合窗口。直线段可以在返回时换一个截距；弯曲的保守弹簧也可以把能量全部还回来。

核心数学模型

分清预伸长与本次行程

F=F_e(x_p+x)+F_h,\qquad x=\frac A2\left(1-\cos\frac{2\pi t}{T}\right)

传感器读的是带正负号的保持力。正式加载前，弹性核心已经预拉伸；滑块记忆也会影响起点读数。

线性、硬化与软化核心

F_e(u)=ku,\qquad ku\left[1+(u/\ell)^2\right],\qquad k\ell\operatorname{asinh}(u/\ell)

这是三条独立的教学定律，过渡长度为六十毫米。硬化时切线刚度增大；反双曲正弦软化时刚度减小，但力仍继续增加。

换成另一段刚度

F_e(u)=ku+2k\,\operatorname{sgn}(u)\max(0,|u|-\ell)

分段核心越过转折点后，刚度变为小伸长刚度的三倍。折点本身没有唯一切线。

弹簧与滑块记住反向

F_h=k_hz,\quad |F_h|\le Y,\quad dQ=Y\,|ds|,\quad W=\Delta U+Q

Jenkins 支路在反向后先做弹性响应，达到阈值才滑动。预循环后的完整回线只有在滑块移动时才耗散。

只拟合选中的观测

\widehat F=a+bx,\qquad r_i=F_i-a-bx_i

截距和斜率只来自一个分支、一个区间内的带噪观测。残差若留下弯曲趋势，就说明一条直线还不够。

常见难点

弯曲不等于滞后

容易误解弹簧越拉越硬，就一定更耗能。

正确理解关掉滑块，比较硬化和软化。来回两条力曲线重合，闭合一圈的净功仍为零。

截距未必是预加载力

容易误解拟合截距直接告诉我起点的力。

正确理解非线性区间的直线会外推到未测区域；滑块记忆又会平移分支。先说明拟合窗口，再比较加载与卸载。

动手实验

01
先看完整一圈
选“摩擦回线”，跟着金色滑块完成一次拉开与返回。
你会看到： 两条测力分支分开；滑块回到起点后，累计耗散仍为正。
02
寻找可用的胡克区间
选“越拉越硬”，在“记录与模型细节”中移动拟合起点和终点。
你会看到： 换一个位置，拟合刚度也会变；残差帮助判断局部直线是否够用。
03
分清预加载与记忆
对比“先预拉，再加载”和“摩擦回线”，然后拟合卸载分支。
你会看到： 预伸长改变弹性力的偏置；摩擦记忆还会带来反向后的弹性段和回线面积。