M048 · 让储存的能量起飞

弹簧发射器

压缩弹簧、释放小球，跟随能量进入飞行。找到离开弹簧的门槛，比较重力，再从顶点高度记录反求刚度。

接触状态 $\text{Ready}$

球底离地高度 $\text{Ready}$

向上速度 $\text{Ready}$

模型最高点 $\text{Ready}$

离开弹簧的压缩门槛 $\text{Ready}$

记录高度反求刚度 $\text{Ready}$

能量账本残差 $\text{Ready}$

已记录顶点数 $\text{Ready}$

SET / RELEASE / MEASURE

先预测，再松手。

初始压缩量

c

0.32\,m

弹簧刚度

k

120.00\,\frac{\mathrm N}{\mathrm m}

小球质量

m

0.50\,kg

重力加速度

g

9.81\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}

回放时长

T

6.00\,s

顶点高度有界误差

\epsilon

0.00\,m

传感器误差种子

s

17.00\,

小球置于无质量压缩弹簧上，没有粘连；弹簧只推不拉。自然长度时顶端离地 0.8 米。重力在整个弹簧行程内始终做功。低于飞行门槛时，小球与弹簧保持接触并振荡；忽略摩擦、弹簧质量、阻尼与机械限位。

金色为小球，蓝色标记弹簧自然端或地面。主场景全部长度使用统一比例，球半径为 0.14 米。淡色小球为之前的模型位置，不是测量值。跟随视角随小球移动，全景显示完整高度范围。运动不会自动播放。

记录使用理想顶点触发器，时间戳精确，高度叠加确定性有界误差。记录覆盖所设回放时段，与当前回放时钟无关。CSV 只含顶点序号、时间与含误差高度。回放保留记录，参数改变清空记录。拟合只读取记录高度与给定常数；误差不是校准后的置信度。

刚度反推只使用高于弹簧自然端的记录顶点；未分辨出这样的高度时不报告拟合。含误差的临界高度可能造成误判。反推依赖理想弹簧与重力势能假设。

精确分段的单边弹簧与抛体模型；忽略空气阻力和弹簧质量。

先抓重点

核心问题: 松开弹簧，球就一定会飞起来吗？
一句话直觉: 飞行开始前，重力已经在弹簧行程内消耗了部分弹性势能。

核心数学模型

接触与飞行

m\ddot q=-k\min(q,0)-mg

坐标零点在自然长度的弹簧顶端；弹簧从不拉球。

离开弹簧的门槛

c>\frac{2mg}{k}

严格正的离开速率，需要比静态支撑更大的压缩量。

离地顶点高度

H_{\max}=L-c+\frac{kc^2}{2mg}

只在发生脱离时成立。高度为球底离地间隙。

记录高度反推

\widehat k=\frac{2mg}{c^2}(\overline H_{\rm peak}-L+c)

该理想反推只采用高于弹簧自然端的记录顶点。

常见难点

读懂模型边界

容易误解只要压缩弹簧就能起飞。

正确理解比较无法起飞预设与压缩门槛。

动手实验

01
设置初态
拖动金色手柄，或用键盘操作对应滑块。
应该观察到： 装置与预测运动一起更新。
02
跟随事件
播放、暂停，跳到下一个关键事件。
应该观察到： 高度连续，瞬时碰撞却能使速度发生跳变。
03
检查能量账本
在转折点之间移动时间轴。
应该观察到： 弹性、动能、重力与转移能量相互对应。
04
记录一次实验
记录顶点高度，导出 CSV，再比较反推参数。
应该观察到： 回放保留同一份记录；改变物理参数才会清空。

核心数学模型

接触与飞行

离开弹簧的门槛

离地顶点高度

记录高度反推

常见难点

读懂模型边界

动手实验

设置初态

跟随事件

检查能量账本

记录一次实验