M048 · 让储存的能量起飞

弹簧发射器

松开弹簧，球就一定会飞起来吗？ 不一定，得压得够深。弹簧推的过程中球已经在升高，飞行还没开始，重力就先吃掉一部分弹性势能。球静放在弹簧上会压下一段，压缩量要超过这段的两倍，球才会飞离；不到这个值，它只会跟着弹簧上下振动。

压缩弹簧，释放小球，看能量怎样变成飞行。找出让球离开弹簧的最小压缩量，比较不同的重力，再从记录的顶点高度反推弹簧刚度。

接触状态 $\text{Ready}$

球底离地高度 $\text{Ready}$

向上速度 $\text{Ready}$

模型最高点 $\text{Ready}$

离开弹簧的压缩门槛 $\text{Ready}$

记录高度反求刚度 $\text{Ready}$

能量守恒残差 $\text{Ready}$

已记录顶点数 $\text{Ready}$

释放小球，测量它的运动

先预测，再松手。

初始压缩量

c

0.32\,m

弹簧刚度

k

120.00\,\frac{\mathrm N}{\mathrm m}

小球质量

m

0.50\,kg

重力加速度

g

9.81\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}

回放时长

T

6.00\,s

顶点高度有界误差

\epsilon

0.00\,m

传感器误差种子

s

17.00\,

小球放在无质量的压缩弹簧上，两者没有粘连，弹簧只推不拉。弹簧处于自然长度时，顶端离地 0.8 米。整个弹簧行程里，重力始终在做功。达不到飞行门槛时，小球一直贴着弹簧振荡。模型忽略摩擦、弹簧质量、阻尼和机械限位。

金色是小球，蓝色标出弹簧自然端或地面。主场景里的长度都按同一真实比例，球半径 0.14 米。淡色小球是模型算出的先前位置，不是测量值。跟随视角随小球移动，全景显示整个高度范围。画面不会自动播放。

记录用理想的顶点触发器，时间戳精确，高度带有有上限、可复现的误差。它记录所设的整个回放时段，与当前回放到哪里无关。CSV 只含顶点序号、时间和带误差的高度。回放会保留记录，改参数就会清空。拟合只读取记录的高度和给定的常数。这里的误差不是校准过的置信度。

刚度估计只用高于弹簧自然端的记录顶点；找不到这样的顶点，就不报告拟合结果。接近临界高度、带误差的顶点可能被归错类。估计的前提是理想弹簧和理想的重力势能。

弹簧只推不拉，弹簧阶段和飞行阶段分段精确求解。忽略空气阻力和弹簧质量。

先抓重点

核心问题: 松开弹簧，球就一定会飞起来吗？
一句话直觉: 球还没离开弹簧，重力就已经在弹簧行程里拿走了一部分弹性势能。

核心数学模型

接触与飞行

m\ddot q=-k\min(q,0)-mg

坐标从弹簧自然伸长时的顶端算起；弹簧从不拉球。

离开弹簧的门槛

c>\frac{2mg}{k}

压缩量要超过小球静止压在弹簧上时的两倍，球离开时才有正的速度。

离地顶点高度

H_{\max}=L-c+\frac{kc^2}{2mg}

只在球离开弹簧时成立。高度指球底到地面的距离。

从记录高度反推刚度

\widehat k=\frac{2mg}{c^2}(\overline H_{\rm peak}-L+c)

这个理想反推只用高于弹簧自然端的记录顶点。

常见难点

压缩了也不一定能起飞

容易误解只要压缩弹簧就能起飞。

正确理解比较无法起飞预设和压缩门槛。压缩量低于门槛时，球不会离开弹簧。

动手实验

01
设置初态
拖动金色手柄，或用键盘操作对应滑块。
你会看到： 装置与预测运动一起更新。
02
跟随事件
播放、暂停，跳到下一个关键事件。
你会看到： 高度连续变化，碰撞却能让速度瞬间跳变。
03
追踪能量
在转折点之间拖动时间轴。
你会看到： 弹性势能、动能、重力势能和转移的能量，加起来始终是同一个总量。
04
记录一次实验
记录顶点高度，导出 CSV，再比较反推参数。
你会看到： 回放保留同一份记录；改变物理参数才会清空。

核心数学模型

接触与飞行

离开弹簧的门槛

离地顶点高度

从记录高度反推刚度

常见难点

压缩了也不一定能起飞

动手实验

设置初态

跟随事件

追踪能量

记录一次实验