光学 053 · 干涉、相干、光腔与精密测量

散斑实验室

相干光穿过散射片后为什么满是颗粒，多张图像平均能抹平吗？ 屏上每一点都收到许多散射点的光，相位彼此随机，相干叠加后有的地方加强、有的地方抵消，形成明暗颗粒。颗粒大小由照明区域的宽度决定，照得越宽，颗粒越细。多帧平均要帧与帧互不相关才能降低对比度；前后几帧几乎一样，平均了也没多大用。

在三维 Fourier 光学台上平移一块确定的相位散射片，记录模拟强度图。把记录的帧平均，再把有限样本的对比度和位移相关，与独立的系综规律对照。

记录／系综对比度

K_{\mathrm{record}},K_{\mathrm{ensemble}}

$0.50$

场相干颗粒尺度／起始位移

s_0,d

$50\%$

记录／系综平移相关与 DFT 归一化误差

\rho,\epsilon_{\mathrm{DFT}}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

散斑实验室

方形照明每边点数（格距 50 微米）

n

24

单色波长（已编程相位不变）

\lambda

532\,\mathrm{nm}

Fourier 透镜焦距

f

150\,\mathrm{mm}

散射屏起始平移格数（每格 50 微米）

d/a

0

实际记录并平均的帧数

M

8

曝光序列总行程格数

L/a

24

固定相位屏样本编号

j_s

1

从同一块固定相位屏开始。增大照明方块，散斑颗粒会变小；改变焦距，屏和传感器的位置会跟着移动。在移动散射片平均中，显示的每一帧都经过记录，再按强度平均。把总行程设为零：散射片不动，帧数再多也平滑不了。在位移相关场景中，在散射屏视角里拖动照明中心，比较原始记录和平移后的记录。薄荷色统计来自记录，金色是另外算出的系综预测。播放只让光路标记动起来，暂停不会改变采集。滑块也可以用键盘操作。

散射片是理想的标量模型，由有限个点位组成；不求解磨砂玻璃的 Maxwell 散射，也不代表经过标定的流速相机。固定灰阶只截断显示，统计保留全部强度。每一帧都在离散的静止位置拍摄，不是连续曝光。

物理教程

检验散斑实验室的物理过程

背景一个亮的散斑颗粒并不对应一颗散射粒子。它是许多相干贡献在同一个探测点上相长干涉的结果： $I(\boldsymbol q)=\left|\frac1{\sqrt N}\sum_j e^{i\phi_j}e^{-2\pi i\boldsymbol r_j\cdot\boldsymbol q/(\lambda f)}\right|^2$ 。彩色透射屏显示编程设定的相位，另一块灰阶传感器记录场振幅的模平方。两张图不必相像。

为什么值得理解相干光穿过散射片后为什么满是颗粒，多张图像平均能抹平吗？

先抓重点

核心问题: 相干光穿过散射片后为什么满是颗粒，多张图像平均能抹平吗？
一句话直觉: 探测器平均先后拍下的各帧时，加的是强度，不是复振幅。平均能起多大作用，取决于各帧之间的相关性： $K^2=\frac1{M^2}\sum_{j,k}\operatorname{Cov}(I_j,I_k)$ 。静止的帧重复多少次，对比度都不变；位置排得更密，也不等于多了独立观测。

核心数学模型

Fourier 透镜怎样连接相位点和传感器

\begin{aligned}\boldsymbol q&=f\boldsymbol\alpha\\\boldsymbol h_\ell&=\boldsymbol r+\boldsymbol q\\\boldsymbol\alpha_{\mathrm{out}}&=\boldsymbol\alpha-\boldsymbol h_\ell/f=-\boldsymbol r/f\end{aligned}

相位屏放在透镜前焦面，传感器放在后焦面。从某个相位点出发的贡献，在“点位坐标加所选探测坐标”处穿过透镜，然后落到那个探测坐标上。绿线和金线只画出其中少量近轴贡献，不是完整的波场。探测器正面朝向透镜，不透光的外壳在吸收面后方。

颗粒尺度来自照明宽度

\begin{aligned}D&=na,\quad a=50\,\mu\mathrm m\\s_0&=\lambda f/D\\\Delta q&=\lambda f/(128a)\end{aligned}

照明方块里是规则点阵上的等振幅相位点。场的相干函数是一个有限等比级数之和，它的第一个零点决定这里给出的特征颗粒尺度。这个尺度不是每个可见颗粒的直径，也不是成像分辨率。整个探测窗口随波长和焦距一起缩放，离散的角度采样因而保持不变。改变波长时，编程设定的相位值保持原样，不是从固定的玻璃起伏推算出来的。

用未截断的记录测量对比度

\begin{aligned}\overline I_p&=\frac1M\sum_m I_{m,p}\\K_{\mathrm{record}}&=\frac{\sqrt{\langle(\overline I_p-\langle\overline I\rangle)^2\rangle_p}}{\langle\overline I\rangle_p}\\\langle I\rangle_{\mathrm{DFT}}&=1\end{aligned}

每一帧先做 Fourier 传播，再取模平方，保存下来后等权平均。Parseval 定理固定了整个离散角度单元上的平均强度，不逐帧自动曝光。归一化强度达到四时灰阶显示为白色，更亮的值照样计入统计。有限次实现的对比度可以大于一。这里的归一化检查只验证离散求和，不是标定过的光功率。

平移后，重叠区域保留同一批相位点

\begin{aligned}N&=n^2\\O(\delta)&=n\max(0,n-|\delta|/a)\\\Gamma_I(\delta)&=\frac{O(\delta)[O(\delta)-1]}{N^2}\\\rho_{\mathrm{ensemble}}(\delta)&=\frac{\Gamma_I(\delta)}{1-1/N}\end{aligned}

有限个等振幅相量的这条协方差是解析极限，针对按整格点平移推导。重叠区里的点严格保留同一个种子相位。没有公共点的两组，系综协方差为零，但两张有限的记录图之间的 Pearson 相关不一定恰好为零。薄荷色曲线由记录图算出；金色虚线是系综参考，不是拟合，也不用来修改探测图。

指数曲线是静止屏幕、相位点很多时的极限

p(I)=\frac1{\langle I\rangle}e^{-I/\langle I\rangle},\quad N\to\infty

大量相位均匀随机的独立贡献相加，趋近圆对称复高斯场，单次记录的强度因此服从指数分布。直方图使用全部未截断的平均强度，并单独报告尾部。指数虚线是静止参考，不是相关平均的分布。模型省略了矢量散射、有限像素面积上的积分、相位点的形状因子、激光的有限相干性、偏振多样性、光子噪声和材料标定。它不能用来测量血流。

常见难点

帧数多，不等于散斑彼此独立

容易误解十六帧总会把散斑对比度降到四分之一。

正确理解这个极限要求各帧强度互不相关。重复的帧，或者共享相位点的帧，仍然相关；相干地叠加复振幅更是完全不同的操作。套用开平方规律之前，先看看实际的帧序列。

动手实验

01
场景 1：充分发展散斑
在静止预设里，扩大照明、改变焦距。确认装置实际移动，由场相干决定的颗粒尺度也随之变化。
你会看到： 颗粒大小随光学尺度变化，探测器上看到的也不是相位屏的直接成像。
02
场景 2：移动散射片平均
在平均场景中，选每边八个点、四帧、总行程二十四格。再把行程设为零，帧数保持四帧。
你会看到： 离散平均强度保持不变。相关帧平均后，起伏压得没有独立帧那么低。
03
场景 3：微位移相关
在相关场景中，切到散射屏细节视角，拖动照明中心。比较不同屏样本上记录到的相关与系综相关。
你会看到： 有限屏幕带来的偏差直接显示出来，不会被强行拉到理想参考曲线上。