光学 053 · 干涉、相干、光腔与精密测量

散斑实验室

在三维 Fourier 光学台平移固定相位屏，真正采集模拟强度图、平均记录帧，并将有限样本对比度与位移相关同独立系综规律对照。

记录／系综对比度

K_{\mathrm{record}},K_{\mathrm{ensemble}}

$0.50$

场相干颗粒尺度／起始位移

s_0,d

$50\%$

记录／系综平移相关与 DFT 闭合

\rho,\epsilon_{\mathrm{DFT}}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

已验证科学装置

散斑实验室

方形照明每边点数（格距 50 微米）

n

24

单色波长（保持已编程相位）

\lambda

532\,\mathrm{nm}

Fourier 透镜焦距

f

150\,\mathrm{mm}

散射屏起始平移格数（每格 50 微米）

d/a

0

实际记录并平均的帧数

M

8

曝光序列总行程格数

L/a

24

固定相位屏样本编号

j_s

1

从同一个固定相位屏开始。增大照明方块，散斑颗粒会变小；改变焦距，会实际移动屏与传感器。在移动散射片平均中，所示各帧都经过实际记录并按强度平均。将总行程设为零：再多帧也不能平滑静止屏。在位移相关场景，用散射屏视角拖动照明中心，对比原始与平移记录。薄荷色统计来自记录；金色是独立的系综预测。播放只动画光路标记；暂停不改变采集。滑块也可用键盘操作。

理想有限点位标量模型，不是磨砂玻璃 Maxwell 散射或已标定流速相机。固定灰阶只截断显示，统计保留全部强度。离散静止位置帧，不是连续曝光。

物理教程

审查散斑实验室的物理过程

背景一个亮颗粒不是一颗散射粒子，而是许多相干贡献在同一个探测坐标处相长干涉： $I(\boldsymbol q)=\left|\frac1{\sqrt N}\sum_j e^{i\phi_j}e^{-2\pi i\boldsymbol r_j\cdot\boldsymbol q/(\lambda f)}\right|^2$ 。彩色透射屏编码已编程相位；独立灰阶传感器记录场振幅的模平方。两张图不必相似。

为什么值得理解随机相干相位怎样产生具有可预测统计规律的颗粒结构？

先抓重点

核心问题: 随机相干相位怎样产生具有可预测统计规律的颗粒结构？
一句话直觉: 探测器相加的是先后记录的强度，不是复振幅。平均是否有效取决于相关性： $K^2=\frac1{M^2}\sum_{j,k}\operatorname{Cov}(I_j,I_k)$ 。重复静止帧不会改变对比度。更密集的位置不等于更多独立观测。

核心数学模型

Fourier 几何把相位点接到传感器

\begin{aligned}\boldsymbol q&=f\boldsymbol\alpha\\\boldsymbol h_\ell&=\boldsymbol r+\boldsymbol q\\\boldsymbol\alpha_{\mathrm{out}}&=\boldsymbol\alpha-\boldsymbol h_\ell/f=-\boldsymbol r/f\end{aligned}

屏与传感器位于前后焦平面。从相位点出发的一个贡献，在“点位坐标加所选探测坐标”处穿过透镜，随后到达该探测坐标。绿线与金线只示意少量近轴贡献，不是完整波场。探测正面朝向透镜；不透光外壳位于吸收面之后。

颗粒尺度来自照明宽度

\begin{aligned}D&=na,\quad a=50\,\mu\mathrm m\\s_0&=\lambda f/D\\\Delta q&=\lambda f/(128a)\end{aligned}

方形区域包含规则点阵上的等振幅相位点。场相干量是有限等比和，其第一零点确定所读出的特征颗粒尺度。它不是每个可见颗粒的直径，也不是成像分辨率。探测窗口随波长与焦距整体缩放，保持相同的离散角度采样。改变波长时保持已编程相位，不把固定玻璃起伏当作输入。

由未截断记录测量对比度

\begin{aligned}\overline I_p&=\frac1M\sum_m I_{m,p}\\K_{\mathrm{record}}&=\frac{\sqrt{\langle(\overline I_p-\langle\overline I\rangle)^2\rangle_p}}{\langle\overline I\rangle_p}\\\langle I\rangle_{\mathrm{DFT}}&=1\end{aligned}

每帧先经 Fourier 传播，再取模平方、保存并等权平均。Parseval 固定整个离散角度单元的平均强度，不逐帧自动曝光。归一化强度为四时灰阶编码达到白色，更亮值仍参与统计。有限样本的对比度可以超过一。闭合检查是离散归一化，不是已标定光功率。

平移保留重叠区域的同一相位点

\begin{aligned}N&=n^2\\O(\delta)&=n\max(0,n-|\delta|/a)\\\Gamma_I(\delta)&=\frac{O(\delta)[O(\delta)-1]}{N^2}\\\rho_{\mathrm{ensemble}}(\delta)&=\frac{\Gamma_I(\delta)}{1-1/N}\end{aligned}

这个有限等振幅相量协方差，是针对整数格点平移推导的解析极限。重叠点严格保留同一个种子相位。不重叠集合的系综协方差为零，但两张有限记录的 Pearson 相关不必恰为零。薄荷色曲线由记录图计算；金色虚线是系综参考，不是拟合，也不用于修改探测图。

指数曲线是静止、多点极限

p(I)=\frac1{\langle I\rangle}e^{-I/\langle I\rangle},\quad N\to\infty

许多独立均匀相位贡献趋近圆对称复高斯场，给出单次记录的指数强度分布。直方图使用全部未截断平均强度，另外报告尾部。指数虚线是静止参考，不是相关平均的分布。此模型省略矢量散射、像素面积积分、点位形状因子、有限激光相干性、偏振多样性、光子噪声与材料标定。不用于测量血流。

常见难点

动手实验

01
场景 1：充分发展散斑
在静止预设中扩大照明并改变焦距，检查实体装置移动，场相干颗粒尺度也随之改变。
应该观察到： 颗粒尺寸随光学尺度变化，但探测器不是相位屏的直接像。
02
场景 2：移动散射片平均
在平均场景中选择每边八点、四帧、总行程二十四格，再保持四帧而将行程设为零。
应该观察到： 离散平均强度保持固定，相关平均比独立平均更难抑制起伏。
03
场景 3：微位移相关
在相关场景中，用散射屏细节视角拖动照明中心，比较不同屏样本的记录相关与系综相关。
应该观察到： 有限屏幕偏差直接可见，不被强行压到理想参考曲线上。

散斑实验室

审查散斑实验室的物理过程

核心数学模型

Fourier 几何把相位点接到传感器

颗粒尺度来自照明宽度

由未截断记录测量对比度

平移保留重叠区域的同一相位点

相关平均不满足独立帧捷径

指数曲线是静止、多点极限

常见难点

更多帧并不自动意味着独立散斑

动手实验

场景 1：充分发展散斑

场景 2：移动散射片平均

场景 3：微位移相关