机构设计 · 旋转与往复

曲柄滑块工作台

用曲柄与连杆驱动导向活塞。改变杆长和导轨偏置，比较两个行程的时长，看看为什么死点处的活塞力不能产生曲柄力矩。

滑块位置 $0$

滑块速度 $0$

滑块加速度 $0$

锐角传动角 $0$

所需输入力矩 $0$

载荷有符号功率 $0$

杆长闭合残差 $0$

准静态功率残差 $0$

搭建与转动

改变几何，跟随运动。

输入角

\theta

40.00\,{}^\circ

指定输入角速度

\dot\theta

45.00\,{}^\circ/\mathrm s

曲柄长度

a

0.40\,\mathrm m

连杆长度

b

1.20\,\mathrm m

导轨竖向偏置

e

0.00\,\mathrm m

沿连杆描点比例

u

0.50\,

描点法向偏移

h

0.30\,\mathrm m

有符号滑块力

F_x

-5.00\,\mathrm N

正角从向右水平轴逆时针计量；正导轨偏置向上。蓝色为输入曲柄，薄荷色为连杆，珊瑚色为输出，金色为连杆描点。在独立平面图中拖动金色曲柄销手柄；角度滑块支持键盘。

播放指定恒定输入角速度，到下一个几何极限即停，不会跨过无法装配的区域。仅满足 Grashof 不等式并不保证所选输入杆能整周旋转，固定杆与驱动杆的选择也重要。圆心重合而交点不唯一时会明确提示。

连杆采用圆与导轨的右侧交点。滑块死点的传递速度为零，有限滑块力对应的输入力矩也为零；这不同于连杆竖直时导数未定义的奇异位形。导轨偏置可以使两个行程的时长不同。

载荷是恒定的有符号外力或外力矩，不总是阻力，在部分周期可以输入能量。输入力矩在无质量、无摩擦准静态极限下平衡其虚功。这里不计算关节反力、惯性力、轴承安全或电机选型。

销中心长度及描点坐标以米计。杆宽、销直径、轴承块及分层深度为示意；物理运动为平面，销轴沿景深方向。允许杆件重叠。金色曲线是采样计算轨迹，不是实体导轨。CSV 包含七百二十一个半度采样点，缺失装配或奇异导数留空。

右侧滑块装配、刚性连杆与理想导轨。精确几何及准静态恒定有符号滑块力；不含气体循环、压力、飞轮动力学、轴承载荷或燃烧模型。

先抓重点

核心问题: 曲柄一直转动，为什么滑块在端点暂时停下？
一句话直觉: 连杆约束使滑块位移随输入角非线性变化。死点处，有限滑块力无法反向驱动曲柄。

核心数学模型

右侧滑块装配

x=a\cos\theta+\sqrt{b^2-(e-a\sin\theta)^2}

根号内必须非负，根号为零对应连杆竖直的奇异位置，不是人为裁剪的位置。

速度与加速度

\dot x=x'(\theta)\dot\theta,\qquad\ddot x=x''(\theta)\dot\theta^2

播放期间输入角速度恒定；显示加速度为运动学结果，不是由力求解。

有符号虚功率

\tau_{\rm in}=-F_x x'(\theta),\qquad\tau_{\rm in}\dot\theta+F_x\dot x=0

正常死点处位移导数和所需力矩为零。恒定外力的符号不会自动随速度反转。

常见难点

零不等于未定义

容易误解输出静止就表示求解奇异。

正确理解普通输出换向处，速度为零但求解仍可正常；闭合奇异处，微分约束不能唯一确定运动。

指定运动

容易误解动画证明这台电机能够驱动真实机构。

正确理解输入转速为指定量，不含杆件惯性、摩擦、柔性与碰撞动力学；功率平衡采用准静态近似。

动手实验

01
转动
播放，再暂停并拖动平面图中的金色曲柄销。
应该观察到： 三维杆件与全部曲线使用同一个输入角。
02
改变杆长
比较导轨无偏置、缩短连杆和偏置导轨。
应该观察到： 短连杆改变速度曲线，偏置改变每个行程占用的转角。
03
检查极限位形
选择死点并读取输入力矩，再导出整周扫描。
应该观察到： 缺失值、奇异值与有效零值明确区分。

理论与装置：Carnegie Mellon · Planar Linkages · Universidad de Almería · Four-bar mechanisms