机构设计 · 旋转与往复

曲柄滑块工作台

曲柄匀速转动，滑块为什么忽快忽慢？ 因为滑块跟的是曲柄销沿导轨方向的位置，不是转角，倾斜的连杆还会把这个运动再扭曲一些。接近两端时，曲柄销主要在横着导轨走，滑块慢到停下，曲柄却一直在转；中段曲柄销顺着导轨走，滑块最快。连杆越短，扭曲越明显；导轨偏置，两个行程占用的转角就不再相等。

用曲柄和连杆推着活塞沿导轨往复。改变连杆长度和导轨偏置，比较两个行程各用多长时间，再看看为什么到了死点，活塞力对曲柄不产生力矩。

滑块位置 $0$

滑块速度 $0$

滑块加速度 $0$

锐角传动角 $0$

所需输入力矩 $0$

载荷有符号功率 $0$

杆长残差 $0$

准静态功率残差 $0$

搭建与转动

改变几何，看运动怎样变化

输入角

\theta

40.00\,{}^\circ

指定输入角速度

\dot\theta

45.00\,{}^\circ/\mathrm s

曲柄长度

a

0.40\,\mathrm m

连杆长度

b

1.20\,\mathrm m

导轨竖向偏置

e

0.00\,\mathrm m

沿连杆描点比例

u

0.50\,

描点法向偏移

h

0.30\,\mathrm m

有符号滑块力

F_x

-5.00\,\mathrm N

角度从向右的水平轴起算，逆时针为正；导轨偏置向上为正。蓝色是输入曲柄，薄荷色是连杆，珊瑚色是输出，金色是连杆上的描点。可以在单独的平面图里拖动金色曲柄销手柄，也可以用键盘操作角度滑块。

播放时输入杆以恒定角速度转动，到下一个几何极限就停，不会跳过无法装配的区域。只满足 Grashof 不等式，并不能保证所选输入杆转得了整圈，哪根杆固定、哪根杆驱动也有关系。圆心重合、交点不唯一时，会明确提示。

连杆取圆与导轨的右侧交点。滑块在死点时传递速度为零，有限的滑块力只需要零输入力矩。这和连杆竖直时的奇异位形不同，那里导数没有定义。导轨偏置会让两个行程的时间不相等。

载荷是恒定的外力或外力矩，有正负之分。它不总是阻力，在周期的一部分里可以向机构输入能量。在无质量、无摩擦的准静态极限下，输入力矩与载荷的虚功平衡。这里不计算关节反力、惯性力和轴承安全，也不做电机选型。

销中心之间的长度和描点坐标都用米。杆宽、销径、轴承块和分开的纵深层次都是示意；真实运动在一个平面内，销轴沿纵深方向。杆件可以互相重叠。金色曲线是按采样角度算出的描点轨迹，不是实体导轨。CSV 含七百二十一个采样点，每半度一个；无法装配或导数奇异的位置留空。

滑块装在右侧，连杆是刚体，导轨是理想的。位置按精确几何求出。滑块上作用一个恒定的力，方向可正可负，按准静态处理。不考虑气体循环、压力、飞轮动力学、轴承载荷和燃烧。

先抓重点

核心问题: 曲柄一直在转，滑块为什么会在端点停一下？
一句话直觉: 连杆牵着滑块，滑块位移和曲柄转角不成正比。到了死点，任何有限大小的滑块力都推不动曲柄。

核心数学模型

右侧装配的滑块位置

x=a\cos\theta+\sqrt{b^2-(e-a\sin\theta)^2}

根号里的量不能为负。根号为零时连杆竖直，这是一个奇异位置。

速度与加速度

\dot x=x'(\theta)\dot\theta,\qquad\ddot x=x''(\theta)\dot\theta^2

播放时曲柄角速度不变。显示的加速度由运动学算出，不是从力求出来的。

由虚功率求输入力矩

\tau_{\rm in}=-F_x x'(\theta),\qquad\tau_{\rm in}\dot\theta+F_x\dot x=0

普通死点处，位移导数为零，所需力矩也为零。恒定外力的方向不会随滑块速度自动反过来。

常见难点

速度为零不等于奇异

容易误解输出一停下来，就说明到了奇异位置。

正确理解输出只是换向时，速度为零，解仍然正常。只有到了奇异位置，微分方程才没法唯一确定运动。

输入转速是给定的

容易误解动画能转起来，就说明这台电机带得动真实机构。

正确理解输入转速是直接给定的。模型不含杆件惯性、摩擦、柔性和碰撞，功率平衡用的是准静态近似。

动手实验

01
转动曲柄
先播放，再暂停，在平面图里拖动金色曲柄销。
你会看到： 三维杆件和所有曲线一起变化，因为它们用的是同一个输入角。
02
改变杆长
比较导轨无偏置、缩短连杆和偏置导轨。
你会看到： 连杆变短，滑块速度随转角变化的曲线跟着变；导轨偏置，则改变每个行程占用的曲柄转角。
03
看极限位形
选择死点，读出输入力矩，再导出整周扫描。
你会看到： 缺失值和奇异值单独标出，不会和真正的零混在一起。

理论与装置：Carnegie Mellon · Planar Linkages · Universidad de Almería · Four-bar mechanisms