机构设计 · 机械正弦波

苏格兰轭

让曲柄销穿过真实开孔的轭架槽，跟随它的水平投影。观察位移与速度的相位关系，看看为什么行程端点速度为零、加速度却最大。

轭架位置 $0$

输出速度 $0$

输出加速度 $0$

总行程 $0$

所需输入力矩 $0$

载荷有符号功率 $0$

接合槽约束残差 $0$

准静态功率残差 $0$

转动与检查

跟随金色驱动销。

周期相位

psi

40.00\,{}^circ

指定输入转速

omega

60.00\,{}^circ/mathrm s

曲柄半径

r

0.65\,mathrm m

有符号输出外力

F_x

-5.00\,mathrm N

蓝色为输入曲柄、金色为驱动销、珊瑚色为输出。运动平面向右、向上为正，转角逆时针为正，销轴沿景深方向。在独立平面图中拖动金色销，或用键盘操作周期相位滑块。

轭架精确跟随销的水平坐标，竖槽容纳销的竖向运动。销在槽内的位置与轭架的水平位置是不同物理量。显示的有限间隙为示意，不是回程间隙仿真。

行程端点速度为零、加速度幅值最大。因此外力可以对应零输入力矩，并不意味着加速度也为零。这里不计算惯性力。

施加载荷保持有符号方向，在部分周期可以输入能量。输入力矩在无质量、无摩擦近似下平衡虚功。槽轮停歇时理想制动器承担输出外力矩，输出功率为零，输入销不传递载荷。

播放完成一圈输入后停止，重播会明确重置周期。长度以米计，宽度、厚度、支撑与显示间隙为示意；不据此推断冲击、磨损、结构安全或动态驱动能力。CSV 包含七百二十一个半度相位采样，角度和角速度使用弧度。

平面刚性轭架、理想竖槽与水平导向。精确简谐运动学及无质量准静态有符号载荷传递；不含接触压力、磨损、惯性、柔性或电机选型。

先抓重点

核心问题: 为什么轭架停下处加速度最大？
一句话直觉: 竖槽让销的竖向运动不传给输出，水平坐标则是一条余弦。

核心数学模型

投影约束

x=r\cos\theta,\qquad y_{\rm pin}=r\sin\theta

轭架水平滑动，销同时在槽内竖向滑动。

简谐运动

\dot x=-r\omega\sin\theta,\qquad\ddot x=-\omega^2x

输入角速度恒定，总行程等于曲柄半径的两倍。

准静态虚功率

\tau_{\rm in}=-F_x\frac{\mathrm dx}{\mathrm d\theta},\qquad\tau_{\rm in}\omega+F_x\dot x=0

不包含惯性或摩擦功率。

常见难点

指定运动

容易误解动画看起来流畅就证明受力平滑。

正确理解输入转速为指定量，不含惯性、冲击、摩擦与柔性，槽轮边界加速度不连续。

有符号载荷

容易误解恒定外载荷总是在阻碍运动。

正确理解恒定有符号外力或力矩可随输出速度方向输入或吸收功率。

动手实验

01
跟随驱动销
播放一圈，再拖动周期或平面图中的金色销。
应该观察到： 输入销、输出与曲线游标同步移动。
02
检查行程端点
比较行程中点与行程端点，同时读取速度和加速度。
应该观察到： 端点处轭架换向，零速度不等于零加速度。
03
核对边界
反向外力并导出周期。
应该观察到： 运动为指定量，外力反向会反转力矩，不会改变轨迹。

理论与装置：Carnegie Mellon · Geneva Wheel · Purdue · Scotch Yoke