机构设计 · 机械正弦波

苏格兰轭

槽怎样把圆周运动变成正弦波？ 槽是竖的，销在槽里上下滑动不受阻碍，只有销的横向位置会推动轭架。匀速绕圆转动的点，横向位置正好按正弦规律来回变化，轭架于是做简谐运动，行程是曲柄半径的两倍。轭架在两端停下换向，这时加速度反而最大。

转动曲柄，让销在轭架的开口槽里滑动，跟着看销的水平投影。比较位移和速度的相位，看看为什么行程两端速度为零，加速度却最大。

轭架位置 $0$

输出速度 $0$

输出加速度 $0$

总行程 $0$

所需输入力矩 $0$

载荷有符号功率 $0$

接合槽约束残差 $0$

准静态功率残差 $0$

转动与检查

跟随金色驱动销。

周期相位

psi

40.00\,{}^circ

指定输入转速

omega

60.00\,{}^circ/mathrm s

曲柄半径

r

0.65\,mathrm m

有符号输出外力

F_x

-5.00\,mathrm N

蓝色是输入曲柄，金色是驱动销，珊瑚色是输出。运动在一个平面内，向右、向上为正，转角逆时针为正，销轴沿纵深方向。可以在单独的平面图里拖动金色销，也可以用键盘操作周期相位滑块。

轭架精确跟着销的水平坐标走，竖槽让销可以上下移动。销在槽里的位置和轭架的水平位置，是两个不同的量。画面上的小间隙只是示意，并不模拟回程间隙。

行程两端速度为零，加速度的大小却最大。所以外力在那里对应的输入力矩可以为零，加速度却不为零。模型不计算惯性力。

外加载荷的方向和正负不变，在一个周期的某些阶段可以向机构输入能量。零件没有质量、没有摩擦，所需输入力矩由虚功平衡求出。槽轮停歇时，理想制动器承受输出端的外力矩，输出功率为零，输入销不传递载荷。

播放让输入转一圈后停下，重播会重置周期。长度用米，宽度、厚度、支撑和画面上的间隙都是示意。这里不推断冲击、磨损、结构安全或动态驱动能力。CSV 含七百二十一个相位采样，每半度一个，角度和角速度用弧度。

轭架是平面刚体，竖槽和水平导轨都按理想处理。简谐运动是精确的；带正负号的载荷经无质量零件传递，每一瞬间按静力平衡处理。不考虑接触压力、磨损、惯性和柔性，也不做电机选型。

先抓重点

核心问题: 为什么轭架停下处加速度最大？
一句话直觉: 竖槽让销上下自由滑动，传给轭架的只有销的水平位置，它随曲柄角按余弦变化。

核心数学模型

销的水平投影

x=r\cos\theta,\qquad y_{\rm pin}=r\sin\theta

轭架水平滑动，销同时在槽内竖向滑动。

简谐运动

\dot x=-r\omega\sin\theta,\qquad\ddot x=-\omega^2x

输入角速度恒定，总行程等于曲柄半径的两倍。

无惯性的功率平衡

\tau_{\rm in}=-F_x\frac{\mathrm dx}{\mathrm d\theta},\qquad\tau_{\rm in}\omega+F_x\dot x=0

这里不计惯性，也不计摩擦功率。

常见难点

运动平滑，不等于受力平滑

容易误解动画看着顺，受力也一定平滑。

正确理解输入转速是给定的，惯性、冲击、摩擦和柔性都没算。销进入和退出时，槽轮的加速度会突变。

恒定载荷可以助推，也可以阻碍

容易误解恒定外载荷总在阻碍运动。

正确理解恒定的外力或力矩，与输出速度同向时输入功率，反向时吸收功率。

动手实验

01
跟随驱动销
播放一圈，再拖动周期或平面图中的金色销。
你会看到： 输入销、输出与曲线游标同步移动。
02
检查行程端点
比较行程中点与行程端点，同时读取速度和加速度。
你会看到： 到了端点，轭架掉头，速度为零，加速度却不为零。
03
看看边界情况
把外力反向，再导出一个周期。
你会看到： 运动是给定的，外力反向只会让力矩反向，轨迹不变。

理论与装置：Carnegie Mellon · Geneva Wheel · Purdue · Scotch Yoke