M083 · 受控纯滚动

滚轮与几何相位

滚轮的朝向和转角都回到初值，它也回到原地了吗？ 不一定。先向前滚，再转向，滚回同样距离，最后转回来：朝向和轮子的转角都复原了，轮子却停在了别处。轮子只能沿朝向滚，转过向再滚回去，走的就不是来时的路。先转向再滚，偏移方向正好相反；完全不转向，路径才闭合。

前滚、转向、后滚、再转回来。直立的三维滚轮恢复了原来的朝向和轮面姿态，位置却横移了一段。交换指令的先后，横移就反过来。

水平位移 $0$

横向位移 $0$

朝向变化 $0$

轮面转角 $0$

位置净偏移 $0$

接触物质点速率 $0$

几何与初态

改变约束，看运动怎样变化

滚轮半径

R

0.40\,\mathrm m

每次滚动的距离

d

2.00\,\mathrm m

每次转向角度

\alpha

90.00\,{}^\circ

指令次序：先滚或先转

b_{\rm order}

0.00\,

初始朝向

\theta_0

0.00\,{}^\circ

外部机构让滚轮保持直立。每条滚动或转向指令持续一秒，指令速度瞬间切换。理想的点接触允许滚轮停着原地转向。这个运动学模型不计算驱动功，也不考虑有限接触斑的擦滑。

青色是所选的指令次序，珊瑚色虚线是同一初态下的另一种次序。亮色轨迹画到当前时刻为止。接触点在地面上不断移动，但此刻与地面接触的那个轮面质点，速度却是零。

用精确的四条指令展示结果怎样依赖路径。滚盘不会自由倾倒，这也不是自行车模型或轮胎力模拟。半径改变的是轮子转过的角度，不改变指定的地面距离。

滚轮是外部控制的直立理想薄盘，滚动时不打滑。运动学是精确的，每条指令持续一秒。不考虑倾斜动力学、驱动力和微滑。

先抓重点

\dot x=R\dot\phi\cos\theta,\qquad\dot y=R\dot\phi\sin\theta,\qquad\mathbf v_{\rm contact}=\mathbf 0

俯视时，朝向角从水平正轴逆时针计量；轮面正转使滚轮前进。

\Delta\theta=\Delta\phi=0,\qquad\Delta x=d(1-\cos\alpha),\quad\Delta y=-d\sin\alpha

换一种指令次序，位移就反向。每条指令持续一秒；这里不计算动力学中的力或功。

容易误解把控制复原，运动就该撤销；转得慢了，就一定损失了能量。

正确理解比较两种指令次序各自停在哪里。允许的速度方向取决于当时的朝向。