M083 · 受控纯滚动

滚轮与几何相位

前滚、转向、后滚、回转。三维直立滚轮恢复原来的朝向和轮面姿态，却留下横向位移；交换指令次序，结果随之反转。

水平位移 $0$

横向位移 $0$

朝向变化 $0$

轮面转角 $0$

位置净偏移 $0$

接触物质点速率 $0$

几何与初态

改变约束，看结果。

滚轮半径

R

0.40\,\mathrm m

每次滚动的距离

d

2.00\,\mathrm m

每次转向角度

\alpha

90.00\,{}^\circ

指令次序：先滚或先转

b_{\rm order}

0.00\,

初始朝向

\theta_0

0.00\,{}^\circ

滚轮由外部机构保持直立。每条滚动或转向指令持续一秒，指令速度瞬时切换；理想点接触允许原地转向。不计算驱动功或有限接触斑的擦滑。

青色是所选指令次序，珊瑚色虚线是同初态下的另一种次序；亮色已走轨迹止于当前时刻。地面接触位置不断移动，与地面瞬时接触的轮面物质点速度却为零。

精确的四指令构造展示路径依赖；它不是自由倾倒滚盘、自行车模型或轮胎力模拟。半径改变轮面转角，不改变指定的地面距离。

外部控制的直立理想薄盘，无滑动。采用精确运动学，每条指令持续一秒；不含倾斜动力学、驱动力或微滑。

先抓重点

\dot x=R\dot\phi\cos\theta,\qquad\dot y=R\dot\phi\sin\theta,\qquad\mathbf v_{\rm contact}=\mathbf 0

俯视时，朝向角从水平正轴逆时针计量；轮面正转使滚轮前进。

\Delta\theta=\Delta\phi=0,\qquad\Delta x=d(1-\cos\alpha),\quad\Delta y=-d\sin\alpha

另一种指令次序让位移反向。每条指令持续一秒；这里不声称计算了动力学中的力或功。

容易误解控制复原或转向减弱，一定会撤销运动或消耗能量。

正确理解比较两种指令次序的终点；允许速度取决于当时朝向。