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Sandbox Physics

M005 · 水在流，船向哪走

渡河与航向规划

最快到对岸，就能到正对岸吗？ 最快过河要把船头朝正对岸，让相对水的速率全部用来过河，水流仍会把船带向下游。若恒定航向能抵消漂移，就要朝上游偏转，渡河也会更久。

在均匀流、剪切流和中心急流中调整航向，比较最快渡河与恒定航向下的正对岸到达。把船相对水的速度与水流相加，看船实际走向哪里。

交互模型渡河与航向规划
过河距离0 m0\,\mathrm{m}
下游漂移0 m0\,\mathrm{m}
相对岸的速率3 m s−13\,\mathrm{m\,s^{-1}}
预计渡河时间4 s4\,\mathrm{s}
恒定航向到正对岸0 ∘0\,{}^{\circ}
最快渡河时间4 s4\,\mathrm{s}
正对岸方案用时4 s4\,\mathrm{s}
模型时间0 s0\,\mathrm{s}

物理教程

最快渡河与到正对岸，是两个任务

背景把船头朝向对岸，船自身的运动负责过河，水流同时把它往下游带。两种速度一起决定相对岸的运动。

为什么值得理解要抵消下游漂移，就得把一部分速率用来向上游行进。流速沿河宽变化时，船头不转，航迹也会弯。

先抓重点

核心问题
目的地从“对岸任一点”改成“正对岸”，路线为什么变了？
一句话直觉
把相对水的全部速率用来过河，用时最短。平均水流足够慢时，一个朝上游偏转的恒定航向能抵消总漂移。

核心数学模型

相对水与相对岸的速度

vg=vb+uvg,x=u(y)−vbsin⁡θvg,y=vbcos⁡θ\begin{aligned}\mathbf v_g&=\mathbf v_b+\mathbf u\\v_{g,x}&=u(y)-v_b\sin\theta\\v_{g,y}&=v_b\cos\theta\end{aligned}

水平正方向沿下游，航向角从正对岸方向朝上游量起。

渡河时间与落点漂移

T=Wvbcos⁡θX=W(uˉ−vbsin⁡θ)vbcos⁡θuˉ=1W∫0Wu(y) dy\begin{aligned}T&=\frac{W}{v_b\cos\theta}\\X&=\frac{W(\bar u-v_b\sin\theta)}{v_b\cos\theta}\\\bar u&=\frac1W\int_0^W u(y)\,\mathrm dy\end{aligned}

每次试验保持一个航向，过河分速度不变；下游漂移把整段河宽上的水流积起来。

最快到达对岸任一点

Tmin⁡=Wvb,θ=0T_{\min}=\frac{W}{v_b},\qquad\theta=0

水流没有过河方向的分量。船朝正对岸时，过河分速度已达到相对水的全部速率。

以恒定航向到正对岸

sin⁡θopp=uˉvbTopp=Wvb2−uˉ2\begin{aligned}\sin\theta_{\mathrm{opp}}&=\frac{\bar u}{v_b}\\T_{\mathrm{opp}}&=\frac{W}{\sqrt{v_b^2-\bar u^2}}\end{aligned}

有限时间的解要求平均水流比船慢。在变流速中，随时改变航向的路线属于另一个控制问题。

常见难点

船头方向不是相对岸的走向

容易误解船头朝哪里，船就沿哪里走。

正确理解船头决定相对水的速度，水流再叠加一份相对岸的速度。

落点相同，途中可以弯曲

容易误解到正对岸，就说明全程走在那条直线上。

正确理解流速变化时，前后的漂移可以抵消。航迹弯曲，最后也能回到正对岸。

公式的可行条件有范围

容易误解恒定航向的公式没解，任何航行办法都没用。

正确理解这里始终保持一个航向。改变航向，或在慢流区域等待和调整，是不同的规划任务。

动手实验

  1. 01

    先看水流怎样变

    选“弯曲的航迹”，观察金色水流标记。

    你会看到： 中心流得比两岸快。蓝船相对水的航向不变，相对岸的路线仍会弯。
  2. 02

    尽快到对岸

    选“最快渡河”。

    你会看到： 船相对水的全部速率都用来过河，渡河更快，落点却在下游。
  3. 03

    到达正对岸

    选“到达正对岸”，或点“设为正对岸航向”。

    你会看到： 向上游偏转，能抵消整段漂移，渡河也更久。
  4. 04

    平均不变，换一个剖面

    保持平均流速和航向，比较均匀流、剪切流与中心急流。

    你会看到： 渡河用时和最终落点相同，途中路线却不同。
  5. 05

    把均匀水流调得更快

    选“水流快过船”。

    你会看到： 此时没有有限时间的恒定航向正对岸方案，仍能正常过河，只是被带向下游。
  6. 06

    看速度怎样相加

    在过河途中暂停，查看控制区下方的速度矢量图。

    你会看到： 先沿蓝色的相对水速度，再沿金色水流速度，就到达青色的相对岸速度箭头末端。
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