流体力学 · 水波衍射

Ripple Tank

旋转观察同一个波动解的放大水面，再看俯视图和探针时序。比较单点／双点波源、单缝／双缝、圆盘障碍、固定高度反射、刚性反射和出射吸收；暂停单步，并关闭驱动观察余波。

波动方程能量代理（非焦耳） $0\,\mathrm{m^4\,s^{-2}}$

模拟时间 $0.0000\,\mathrm{s}$

标称波长

\lambda_0

$0.50\,\mathrm{m}$

网格缝宽比

a_h/\lambda_0

$1.04$

网格开口

a_h

$0.522\,\mathrm{m}$

探针高度

\eta

$0.000\,\mathrm{mm}$

水面高度 RMS

\eta_{\mathrm{rms}}

$0.000\,\mathrm{mm}$

探针位置

(x_p,y_p)

$(3.94,\,1.52)\,\mathrm{m}$

Courant 数

C

$0.102$

控制

塑造衍射波场

持续驱动波源关闭后只停止驱动，保留现有波场继续传播。探针时序固定八秒窗口，每个求解步记录一次。求解网格显示波场背后的数值网格。波源：平面／单点／双点

\text{plane}

几何：单缝／双缝／开放／圆盘

\text{single slit}

边界：固定高度／刚性／出射

\text{outgoing}

波源振幅

A

3\,\mathrm{mm}

设定双缝间距

d

1.20\,\mathrm{m}

出射边界吸收率

s

1

波源频率

f

1.50\,\mathrm{Hz}

波速

c

0.75\,\mathrm{m\,s^{-1}}

阻尼

\beta

0.30\,\mathrm{s^{-1}}

设定缝宽

a

0.55\,\mathrm{m}

双缝每道开口最多 0.9 米，间距限制保证中间隔板存在且开口不越界。开口读数报告单道实际网格宽度。吸收率为零时退回复制边缘的近似反射。能量为波动方程代理，不是标定流体能量。

点击透射区，或聚焦画布后用方向键移动探针，只重启该点的曲线。重置和预设保留探针位置以及播放／暂停状态。

这里求解带阻尼的二维线性波动方程 $\frac{\partial^2\eta}{\partial t^2}+2\beta\frac{\partial\eta}{\partial t}=c^2\nabla^2\eta$ ；Dirichlet 与 Neumann 分别对应固定高度和零法向梯度。吸收模式的外壁使用一阶 Mur 出射条件及阻尼层，内部障碍保持零法向通量；斜入射与角点仍有反射。三维图把同一高度放大 25 倍，不包含破波、黏性流动、色散或三维自由表面动力学。

先抓重点

核心问题: 为什么缝越窄，透过的波反而向更大的角度展开？
一句话直觉: 决定波前展开程度的不是缝宽 $a$ 单独的大小，而是它与波长 $\lambda$ 的比值。

核心数学模型

带阻尼的波动方程

\frac{\partial^2\eta}{\partial t^2}+2\beta\frac{\partial\eta}{\partial t}=c^2\nabla^2\eta

空间曲率推动水面回到平衡，阻尼让振幅随传播距离逐渐衰减。

频率、波速与波长

\lambda_0=\frac{c}{f}

读数是无阻尼模型的标称波长；有限网格与阻尼会改变实际传播。保持波速不变，提高频率会缩短这个对照尺度。

网格实际开口

a_h=N_{\mathrm{open}}\Delta y,\qquad \Delta y=\frac{3}{69}\,\mathrm{m}

缝宽只能按开口格点离散变化，图中的开口与网格读数使用同一掩膜。这是格点所代表区间的宽度，不是亚网格精度的壁面定位。

探针的物理时钟

t_n=n\Delta t,\qquad \Delta t=\frac{1}{240}\,\mathrm{s}

每个求解步记录带时间戳的高度，曲线横轴始终覆盖八秒。屏幕帧率不改变采样时钟；卡顿时限制单帧推进，模拟时间不保证跟上墙钟时间。

单缝展开尺度

\sin\theta\sim\frac{\lambda}{a}

当缝宽接近波长时，透射波会显著向侧面展开；这是定性尺度关系，不替代完整波场。

常见难点

颜色表示带符号的水面高度

容易误解亮色一定代表更大的能量，深色代表没有波。

正确理解两种颜色分别表示波峰和波谷。能量与振幅平方有关，不能直接按颜色正负读取。

窄缝不会制造额外能量

容易误解波展开得更广，说明狭缝把水波放大了。

正确理解障碍改变能量的角分布，同时还会反射一部分入射波；展开范围增加不等于总能量增加。

动手实验

01
先看宽缝
选择“宽缝透射”，等波前穿过障碍。
应该观察到： 中央透射波仍大致保持平面，只有靠近缝边的位置明显弯曲。
02
把缝缩到一个波长左右
选择“窄缝衍射”，比较 $a_h/\lambda_0$ 的读数。
应该观察到： 开口后方出现近似圆弧状波前，侧向区域的探针也开始读到周期信号。
03
暂停也能测量
暂停后点击“推进半秒”，等透射波抵达探针；移动探针，关闭持续驱动波源，再继续推进。
应该观察到： 移动探针只开启新位置的曲线，不清除波场。关闭波源后余波仍会传播和衰减；单步则精确推进一个求解步。
04
只缩短波长
保持缝宽不变，选择“短波对照”。
应该观察到： 同一开口相对于波长变宽，波前向侧面的展开减弱。

概念灵感：FluidMotion。模拟与图形均为原创，模型适用边界见上文。