流体力学 · 水波衍射

Ripple Tank

左侧驱动边持续制造平面水波。改变波速、频率、阻尼和缝宽，直接比较宽缝透射与窄缝衍射；点击透射区，还可以移动探针读取局域水面高度。

模拟时间 $0.00\,\mathrm{s}$

波长

\lambda

$0.50\,\mathrm{m}$

缝宽比

a/\lambda

$1.10$

探针高度

\eta

$0.00\,\mathrm{mm}$

Courant 数

C

$0.102$

这里求解带阻尼的二维线性波动方程 $\frac{\partial^2\eta}{\partial t^2}+2\beta\frac{\partial\eta}{\partial t}=c^2\nabla^2\eta$ ，并用吸收层减少外边界反射。颜色和水面高度经过视觉放大；模型不包含破波、完整黏性流动、表面张力色散或真实三维自由表面。

先抓重点

核心问题: 为什么缝越窄，透过的波反而向更大的角度展开？
一句话直觉: 决定波前展开程度的不是缝宽 $a$ 单独的大小，而是它与波长 $\lambda$ 的比值。

核心数学模型

带阻尼的波动方程

\frac{\partial^2\eta}{\partial t^2}+2\beta\frac{\partial\eta}{\partial t}=c^2\nabla^2\eta

空间曲率推动水面回到平衡，阻尼让振幅随传播距离逐渐衰减。

频率、波速与波长

\lambda=\frac{c}{f}

在波速固定时，提高驱动频率会缩短波长，从而改变同一道缝的相对尺寸。

单缝展开尺度

\sin\theta\sim\frac{\lambda}{a}

当缝宽接近波长时，透射波会显著向侧面展开；这是定性尺度关系，不替代完整波场。

常见难点

颜色表示带符号的水面高度

容易误解亮色一定代表更大的能量，深色代表没有波。

正确理解两种颜色分别表示波峰和波谷。能量与振幅平方有关，不能直接按颜色正负读取。

窄缝不会制造额外能量

容易误解波展开得更广，说明狭缝把水波放大了。

正确理解障碍改变能量的角分布，同时还会反射一部分入射波；展开范围增加不等于总能量增加。

动手实验

01
先看宽缝
选择“宽缝透射”，等波前穿过障碍。
应该观察到： 中央透射波仍大致保持平面，只有靠近缝边的位置明显弯曲。
02
把缝缩到一个波长左右
选择“窄缝衍射”，比较 $a/\lambda$ 的读数。
应该观察到： 开口后方出现近似圆弧状波前，侧向区域的探针也开始读到周期信号。
03
只缩短波长
保持缝宽不变，选择“短波对照”。
应该观察到： 同一开口相对于波长变宽，波前向侧面的展开减弱。