流体力学 · 水波衍射

Ripple Tank

为什么缝越窄，透过的水波反而向更大的角度展开？ 波散开多少，看开口宽度和波长之比。缝很宽，透过去的基本是一束直直的波；缝窄到接近一个波长，透过去的波就像从一个点重新发出的新波，向前铺开成一大片扇形。

旋转查看高度放大后的水面，再从俯视图看同一个波场，读取探针时序。可以比较单点或双点波源、单缝或双缝、圆盘障碍，以及固定高度反射、刚性反射和出射吸收三种边界；还能暂停、单步，或关掉驱动看余波。

波动方程能量代理（非焦耳） $0\,\mathrm{m^4\,s^{-2}}$

模拟时间 $0.0000\,\mathrm{s}$

标称波长

\lambda_0

$0.50\,\mathrm{m}$

网格缝宽比

a_h/\lambda_0

$1.04$

网格开口

a_h

$0.522\,\mathrm{m}$

探针高度

\eta

$0.000\,\mathrm{mm}$

水面高度 RMS

\eta_{\mathrm{rms}}

$0.000\,\mathrm{mm}$

探针位置

(x_p,y_p)

$(3.94,\,1.52)\,\mathrm{m}$

Courant 数

C

$0.102$

控制

塑造衍射波场

持续驱动波源关闭后只停止驱动，保留现有波场继续传播。探针时序固定八秒窗口，每个求解步记录一次。求解网格显示波场背后的数值网格。波源：平面／单点／双点

\text{plane}

几何：单缝／双缝／开放／圆盘

\text{single slit}

边界：固定高度／刚性／出射

\text{outgoing}

波源振幅

A

3\,\mathrm{mm}

设定双缝间距

d

1.20\,\mathrm{m}

出射边界吸收率

s

1

波源频率

f

1.50\,\mathrm{Hz}

波速

c

0.75\,\mathrm{m\,s^{-1}}

阻尼

\beta

0.30\,\mathrm{s^{-1}}

设定缝宽

a

0.55\,\mathrm{m}

双缝每道开口最宽 0.9 米。缝距有上限，保证两缝之间留有隔板，开口也不超出水槽。开口读数给出单道缝在网格上的实际宽度。吸收率为零时，边界退回到复制边缘值的近似反射。这里的能量只是按波动方程算出的替代量，不是标定过的流体能量。

点击透射区，或选中画布后按方向键，都能移动探针；移动后只有探针曲线重新开始。重置或切换预设时，探针位置和播放／暂停状态都不变。

这里求解带阻尼的二维线性波动方程 $\frac{\partial^2\eta}{\partial t^2}+2\beta\frac{\partial\eta}{\partial t}=c^2\nabla^2\eta$ 。Dirichlet 边界固定高度，Neumann 边界的法向梯度为零。吸收模式下，外壁用一阶 Mur 出射条件加阻尼层，内部障碍的法向通量为零；斜入射的波和角点处仍有反射。三维图把同一高度放大 25 倍，不模拟破波、黏性流动、色散，也不模拟三维自由表面的动力学。

先抓重点

核心问题: 为什么缝越窄，透过的波反而向更大的角度展开？
一句话直觉: 波前展开多少，不看缝宽 $a$ 本身，要看它和波长 $\lambda$ 之比。

核心数学模型

带阻尼的波动方程

\frac{\partial^2\eta}{\partial t^2}+2\beta\frac{\partial\eta}{\partial t}=c^2\nabla^2\eta

水面哪里弯曲，哪里就被拉回平衡；阻尼让振幅随传播距离慢慢变小。

频率、波速与波长

\lambda_0=\frac{c}{f}

读数是无阻尼模型的标称波长，有限网格和阻尼会改变波实际的传播。波速不变时，频率越高，这个波长越短。

网格实际开口

a_h=N_{\mathrm{open}}\Delta y,\qquad \Delta y=\frac{3}{69}\,\mathrm{m}

缝宽只能一个格点一个格点地变。图上画的开口和读数，用的是求解器的同一张掩膜。这个宽度是开口格点所占区间的总宽，壁面位置不会比网格更精细。

探针怎样计时

t_n=n\Delta t,\qquad \Delta t=\frac{1}{240}\,\mathrm{s}

每个求解步都记下一次带时间戳的高度，曲线横轴始终是八秒。屏幕帧率不影响采样。画面卡顿时，每帧推进的量有上限，模拟时间可能落后于真实时间。

单缝让波展开多大角度

\sin\theta\sim\frac{\lambda}{a}

缝宽接近波长时，透射波会明显向两侧展开。这只是粗略的量级关系，细节要看完整波场。

常见难点

颜色表示水面高出还是低于平面

容易误解亮色一定代表更大的能量，深色代表没有波。

正确理解两种颜色分别是波峰和波谷。能量和振幅的平方有关，看颜色是哪一种读不出能量。

窄缝不会制造额外能量

容易误解波展开得更广，说明狭缝把水波放大了。

正确理解障碍把透过的能量分到更多方向上，还把一部分入射波反射回去。展开得更广，不等于总能量变多。

动手实验

01
先看宽缝
选择“宽缝透射”，等波前穿过障碍。
你会看到： 中央透射波仍大致保持平面，只有靠近缝边的位置明显弯曲。
02
把缝缩到一个波长左右
选择“窄缝衍射”，比较 $a_h/\lambda_0$ 的读数。
你会看到： 开口后方出现近似圆弧状波前，侧向区域的探针也开始读到周期信号。
03
暂停也能测量
暂停后点“推进半秒”，等透射波到达探针；然后移动探针，关掉“持续驱动波源”，再继续推进。
你会看到： 移动探针只会在新位置开始一条新曲线，波场不会清空。关掉波源后，余波照样传播、慢慢衰减。点“单步”则正好推进一个求解步。
04
只缩短波长
保持缝宽不变，选择“短波对照”。
你会看到： 同一个开口和波长相比变宽了，波向两侧展开得少了。

概念灵感：FluidMotion。模拟和图形都是原创，模型的适用范围见上文。