量子禁闭 / 相互作用

排斥束缚原子对

两个互相排斥的原子，怎么会结成一对一起走？ 因为晶格限制了原子能有多少动能。两个原子挤在同一格点上，多出一份排斥能；这份能量超过动能上限时，它们没法靠分开把它变成运动，只好一起在晶格里跳，测量时多半落在同一格点。一开始放在相邻格点的话，大部分概率会散开，成对主要靠一开始就在一起。

把两个玻色子放在同一个格点上，再增大它们之间的排斥。在两个原子的联合位置图里，沿对角线的脊不但没有消失，还会向外传播。把两个原子分开放，再看束缚为什么消失。

一个联合态里两个原子的位置

两粒子仍在同站

0

模型概率
同站不等于永远停在原地。

每根柱对应两个可能的读出位置。高度为联合概率平方根，金色对角线表示同站。这是构型空间，不是物理表面。

0

拖动金色起点，或用方向键移动。

反复制备，每次读出位置。

测量结果和这幅图一致吗？

每次都重新制备，演化到选定时刻，只测一次位置。探测是理想的：每个原子都能测到，原子数也分得清。这些记录不是运动轨迹，也不能还原相位。

记录比例

\text{—}

95% Wilson 区间

\text{—}

模型质心距起点的均方根

\text{—}

模型边界概率

\text{—}

01 / 整段演化

一起走，不是停住。

青线为模型保留比例，珊瑚线为去掉磁通或相互作用后的匹配对照。金线为当前时刻；拖动查看。

$Jt/\hbar$

02 / 每次测量只得到一个结果

测到时，它们相隔多远？

金柱为记录频率，青线为模型概率。纵轴为线性尺度，所有试次都计入。

站点间隔

03 / 看清结构

沿对角线的脊，说明两个原子结伴移动。

模型联合概率。两个原子全同，坐标做了对称化，不区分哪个是第一个原子。一个无序结果的概率平分给两个镜像格。颜色按平方根着色，增益固定。

04 / 原始快照

每一行，都重新开始。

最近 20 次独立试次；双标记表示同站两个原子。CSV 保留全部记录。

查看原始记录表

试次	位置	保留

模型、单位与来源

\tau=Jt/\hbar,\qquad x_j=ja

模型是静态、封闭的有限紧束缚系统，两端开放。时间以跃迁能量的倒数为单位，距离以晶胞或站点间距为单位。当前态和匹配对照都用数值方法演化。边界概率用来提醒有限长度的端点开始起作用，它不是误差估计。

\frac{H}{J}=-\sum_j(b_j^\dagger b_{j+1}+\mathrm{h.c.})+\frac{U}{2J}\sum_j n_j(n_j-1)+\frac{Fa}{J}\sum_j jn_j

31 个站点上恰好两个全同玻色子，共 496 个粒子数态，跃迁项含玻色因子。两个原子从同一站出发时，强排斥会阻止它们分开；一开始就分开的原子不会因此结合。同站比例不等于谱分解中束缚态的权重。不考虑高能带、损失、热噪声和实验读出误差。

E_{\mathrm{bound}}(K)=\sqrt{U^2+16J^2\cos^2(Ka/2)}\quad(F=0,\ U>0)

这条色散关系是无限长链的参考，不是有限链的求解结果。势能斜率不为零时，它本身也会限制运动，所以要和斜率相同、相互作用为零的对照曲线比较。

Winkler et al. — repulsively bound pairs, Eq. 1 & Fig. 1
Valiente & Petrosyan — two-particle states, Eqs. 6–8 & 18

数值演化用限定步长的指数作用法，不做重新归一化，范数和能量漂移列在下方。统计区间只描述有限的理想样本。三维图和平滑分布来自模型；记录是按 Born 规则独立抽出的结果。

0

0

先抓重点

核心问题: 两个互相排斥的原子，怎么会结成一对一起走？
一句话直觉: 晶格上的动能带有上限，这个上限能让互相排斥的原子对分不开。

核心数学模型

幺正演化

|\psi(t)\rangle=e^{-iHt/\hbar}|\psi(0)\rangle

画出的概率和采集的结果都来自同一个量子态。

计数对象

P_{\mathrm{same}}=\sum_j|\langle 2_j|\psi\rangle|^2

这个事件只按位置来定义，不测相位，也不是向束缚态的投影。

常见难点

每次都重新制备

容易误解点串就是一个粒子的运动轨迹。

正确理解每次试验都重新开始，直到选定时刻才测量。

模型的局限

容易误解局域的画面就证明它是纯束缚态。

正确理解两个相同的玻色子在 31 个格点的开放链上运动，用单带 Bose–Hubbard 模型描述。两个原子在同一格点时，处在束缚态和散射态的叠加中，不是纯粹的束缚本征态。快照能理想地分辨每个格点上的原子数。不考虑原子损失、更高能带、热浴和硬件标定。

动手实验

01
预测
在相同时刻比较前两个预设。
你会看到： 排斥强时，对角线上留下的概率多得多。
02
打破条件
选择第三个预设。
你会看到： 一开始就分开的原子，和放在同一格点上制备的原子对表现不同。
03
测量
采集位置，定格结果，再比较另一种制备。
你会看到： 估计值会随样本波动，试次越多，区间越窄。