M035 · 封闭系统动量

反冲与爆炸设计台

改变内部释放方向，能让质心拐弯吗？ 内部释放不能让质心拐弯。载荷得到动量，剩下的平台就承受相反的动量变化；偏心释放还会让平台转动。只要没有水平外力，无论同时散开还是分次释放，所有物体共同的质心都保持原来的速度。

在无摩擦平台上布置最多四个载荷，分别设置释放方向、能量和时刻。看平台如何反冲、转动，再追踪所有物体共同的质心。

质心速率 $0.25\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

平台速率 $0.215\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

平台角速度 $-0.14\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$

已释放弹簧能量 $0.06\,\mathrm{J}$

模型假设

平台和载荷都是同一水平面内的均匀圆盘，重力由理想无摩擦支撑平衡。支臂、导轨、底脚和弹簧均视为无质量；未释放的部分组成一个刚体。释放视为沿喷口方向的瞬时内部冲量，反作用同时改变平台的平动与转动。同一时刻的释放共享冲量进度，每个能源分别提供设定的正功。零能量解锁保留载荷原有的局部刚体速度和自旋。分离后无阻力滑行；首次自由物体再次接触前终止记录，后续碰撞不在模型中。俯视逆时针为正，金色标记是质量加权质心在台面的投影，不是额外的物体。

先抓重点

核心问题: 改变内部释放方向，能让金色质心标记拐弯吗？
一句话直觉: 内部冲量成对出现，总动量中的变化相互抵消。把绕原点的运动和圆盘自旋都算上，角动量的变化也相互抵消。

核心数学模型

用各物体的位置求质心

\mathbf R=\frac{\sum_i m_i\mathbf r_i}{\sum_i m_i},\qquad \mathbf P=\sum_i m_i\mathbf v_i=M_{\mathrm{tot}}\dot{\mathbf R}

金色标记由平台与所有载荷共同求出，已经滑远的载荷也包括在内。初始漂移不为零时，它的投影轨迹保持直线。

内部冲量及反作用

\Delta\mathbf p_i=J_i\mathbf n_i,\qquad \Delta\mathbf P_{\mathrm{rem}}=-J_i\mathbf n_i,\qquad \Delta L_{\mathrm{rem}}=-\mathbf r_i\times J_i\mathbf n_i

力臂从剩余刚体的质心量起。相反方向的径向释放可以抵消反冲，偏心喷口则可能让平台转动。

没有水平外力

\dot{\mathbf P}=\mathbf0,\qquad \mathbf R(t)=\mathbf R(0)+\frac{\mathbf P(0)}{M_{\mathrm{tot}}}t

支撑平衡重力，不施加水平力或力矩。改变释放时序，也改变不了这条直线运动规律。

能量与角动量

E=\sum_i\left(\frac12m_iv_i^2+\frac12I_i\omega_i^2\right)+U_{\mathrm{spring}},\qquad L=\sum_i\left(\mathbf r_i\times m_i\mathbf v_i+I_i\omega_i\right)

每个实体圆盘都用均匀圆盘的转动惯量。能量图分别列出剩余刚体的平动和转动，也计入各自由圆盘的自旋。

常见难点

平台只是系统的一部分

容易误解平台偏转了，质心也应该偏转。

正确理解载荷带走了相应的动量。把所有轨迹按质量加权，得到的质心仍按原来的速度走。

解锁不一定增加能量

容易误解零能量释放后，载荷应该停住。

正确理解组件旋转时，载荷本来就有切向速度和自旋。解锁保留释放瞬间已有的速度。

动手实验

01
让平台转起来
先看“偏心反冲”，拖动载荷或瞄准手柄，再播放。
你会看到： 每次释放都让平台反冲、转动，金色轨迹的方向保持不变。
02
编排多次释放
逐个选中载荷，设置质量与能量；展开释放编排，分别改时刻，或添加第四个载荷。
你会看到： 同时释放的能源共同作用于同一个剩余平台；把时刻分开，会改变后续喷口朝向与各物体的路线。
03
不加弹簧推力也能散开
选“解锁旋转中的组件”，再与“两侧同时释放”比较。
你会看到： 解锁的圆盘沿当时的切线滑出，没有增加弹簧能量；两侧同时释放则把弹簧能量变成相互平衡的向外运动。