控制与力学 · 动量储存

反作用轮倒立摆

给顶端的飞轮加速，怎么能让摆杆保持直立？ 电机让飞轮朝一个方向加速时，会用同样大的扭矩把摆杆往反方向拧。控制器掐准这股反拧，抵消重力的倾倒作用，让杆稳在直立位置。杆停稳后，飞轮可以一直转下去，因为没有什么把它的转动拿走。电机越接近最高转速，能给的扭矩越小，飞轮太小或转速上限太低，杆就可能倒下。

让飞轮加速或减速，把绕支点转动的摆杆扶直。改变轮半径、可用扭矩或初始转速，看看为什么杆已经稳住，飞轮却可能还在高速旋转。

相对直立的倾角 $0$

杆角速度 $0$

实际转子扭矩 $0$

请求转子扭矩 $0$

飞轮相对电机转速 $0$

转子绝对角动量 $0$

电机有符号做功 $0$

步状态最大功—能残差 $0$

释放与执行器

先稳住它，再找出控制失效的地方

初始倾角

\theta_0

8.00\,{}^\circ

杆初始角速度

\omega_0

0.00\,\mathrm{rad/s}

电机关或反馈开

b_{\rm on}

1.00\,

名义响应率

\lambda

2.00\,\mathrm{s^{-1}}

堵转扭矩上限

\tau_{\max}

1.20\,\mathrm{N\,m}

均匀飞轮半径

R

0.18\,\mathrm m

飞轮初始绝对角速度

\nu_0

0.00\,\mathrm{rad/s}

电机相对空载转速

\Omega_{\rm nl}

180.00\,\mathrm{rad/s}

积分：标准或精细

b_{\rm fine}

0.00\,

倾角为正表示向右偏离竖直。拖动下方的金色手柄设定初始倾角，也可以用键盘操作滑块。回放速度是真实速度的四分之一，便于看清响应。

均匀杆质量零点三千克，长零点八米。均匀飞轮质量零点三五千克，轮心在杆端。改变飞轮半径只改变转子的转动惯量，杆长和质心位置都不变。轮毂和支架只是示意，没有质量。

角度控制带重力补偿，按临界阻尼设计，只在直立两侧六十度内起作用。它不会卸掉飞轮积累的动量。电流上限，以及扭矩随相对转速线性变化的上限，都是理想的设计假设，不是标定过的电机。

每次模拟八秒物理时间，用四阶 Runge–Kutta 积分八千或一万六千步，再作三次 Hermite 插值。有符号的功和动力学一起积分，显示的残差用来检查保存下来的各步状态。限幅和控制切换会让运动不那么光滑；要判断轨迹精度，请和精细积分对比。

支点理想无摩擦，运动限定在一个平面内，没有碰撞面。倒下的杆可能穿过示意支架继续转。模型不含传感延迟、结构柔性、电损耗、再生电池模型、硬件安全保证和起摆控制。实时回放时，高速转动的飞轮标记可能出现视觉混叠；转角和导出数据仍按物理时间记录。

刚杆只在一个平面内转动，飞轮是绕中心转的均匀圆盘。电机的扭矩—转速关系取理想包络，角度反馈带重力补偿。不模拟起摆、动量卸载、碰撞和面外的陀螺运动。

先抓重点

核心问题: 为什么摆杆已经立稳，转子却还带着角动量？
一句话直觉: 电机给轮和杆一对大小相等、方向相反的扭矩。杆可以停稳，角动量却存在轮子里。对支点来说，外力矩来自重力。

核心数学模型

摆杆和转子的运动方程

I_b\ddot\theta=G\sin\theta-\tau,\qquad J\dot\nu=\tau,\qquad\dot\phi=\nu

转子的转角和转速都是相对地面的绝对量，电机轴感受到的是转子和杆的转速差。摆杆的转动惯量包括杆本身和随轮心平动的飞轮质量，不包括转子绕自身轴的自转。

电机未饱和时的角度反馈

\tau_d=G\sin\theta+I_b(\lambda^2\theta+2\lambda\dot\theta),\qquad\ddot\theta+2\lambda\dot\theta+\lambda^2\theta=0

第二式只在直立附近的控制区内成立，而且电机得能给出所要求的扭矩。

电机功率与能量变化

E=\tfrac12 I_b\dot\theta^2+\tfrac12J\nu^2+G(\cos\theta-1),\qquad\dot E=\tau(\nu-\dot\theta)

电机做的功可正可负。这里算的是轴上的机械功，不包括耗电和电路损耗。

常见难点

反馈不是万能的

容易误解只要打开反馈，不管从什么状态松手都能救回来。

正确理解比较几个上限预设。这些控制器只在直立附近起作用，驱动能力也有限，不是起摆算法。

绝对与相对转动

容易误解杆不动了，飞轮也就停了。

正确理解把转子的绝对角动量和电机感受到的相对转速分开来读。

动手实验

01
倾斜后松手
拖动金色手柄设定初始倾角，再点播放。
你会看到： 看摆杆怎么动，再看控制器要求电机朝哪个方向、出多大的驱动。
02
找到电机的极限
选“降低转速上限”，再换一个更大的飞轮比较。
你会看到： 留意从哪一刻起，电机实际给出的驱动跟不上控制器的要求。
03
比较能量和电机做功
把回放拉到最后，导出记录，再比较标准积分和精细积分。
你会看到： 电机做的功可正可负，机械能的变化正好等于它。

一手理论资料：MIT · Cart-Pole · ETH Zürich · 1D reaction-wheel model, Section II