控制与力学 · 动量储存

反作用轮倒立摆

加速飞轮，让定轴摆杆保持直立。改变轮半径、可用扭矩或初始转速，观察为什么杆稳定之后，轮仍可能高速旋转。

相对直立的倾角 $0$

杆角速度 $0$

实际转子扭矩 $0$

请求转子扭矩 $0$

飞轮相对电机转速 $0$

转子绝对角动量 $0$

电机有符号做功 $0$

步状态最大功—能残差 $0$

释放与执行器

稳住它，再找到极限。

初始倾角

\theta_0

8.00\,{}^\circ

杆初始角速度

\omega_0

0.00\,\mathrm{rad/s}

电机关或反馈开

b_{\rm on}

1.00\,

名义响应率

\lambda

2.00\,\mathrm{s^{-1}}

堵转扭矩上限

\tau_{\max}

1.20\,\mathrm{N\,m}

均匀飞轮半径

R

0.18\,\mathrm m

飞轮初始绝对角速度

\nu_0

0.00\,\mathrm{rad/s}

电机相对空载转速

\Omega_{\rm nl}

180.00\,\mathrm{rad/s}

积分：标准或精细

b_{\rm fine}

0.00\,

正倾角从竖直方向向右倾斜。下方金色手柄编辑初始倾角，滑块也支持键盘。回放采用四分之一物理速度，便于看清响应。

均匀杆质量为零点三千克、长零点八米；均匀飞轮质量为零点三五千克，轮心位于杆端。改变轮半径会改变转子惯量，不改变杆长或质心位置。轮毂与支架为无质量示意。

带重力补偿的临界阻尼角度控制只在直立两侧六十度内工作，不卸载飞轮动量。电流限幅与相对转速线性扭矩包络是理想设计假设，不是标定电机。

八个物理秒，四阶 Runge–Kutta，八千或一万六千步，三次 Hermite 插值。有符号做功与动力学同步积分，残差检查保存的步状态。限幅和控制切换会降低光滑性，轨迹精度需对比精细积分。

采用理想无摩擦支点、指定平面约束，没有碰撞面。失稳杆可以穿过示意支架旋转。不含传感延迟、结构柔性、电损耗、再生电池模型、硬件安全保证或起摆控制。飞轮标记高速时可能出现视觉混叠；转角和导出数据保留物理时间。

单平面刚杆与中心均匀圆盘。理想扭矩—转速包络与重力补偿角度反馈；不含起摆、动量卸载、碰撞或面外陀螺运动。

先抓重点

核心问题: 为什么摆杆保持直立，转子却保留角动量？
一句话直觉: 电机施加一对大小相等、方向相反的扭矩。杆可以稳定，角动量却留在轮内；重力对支点仍施加外力矩。

核心数学模型

摆杆与转子动力学

I_b\ddot\theta=G\sin\theta-\tau,\qquad J\dot\nu=\tau,\qquad\dot\phi=\nu

转子转角与转速均为绝对量，电机轴读取转子与杆的转速差。摆杆惯量包含杆与轮心平动，不包含转子自身轴向自转。

未饱和角度反馈

\tau_d=G\sin\theta+I_b(\lambda^2\theta+2\lambda\dot\theta),\qquad\ddot\theta+2\lambda\dot\theta+\lambda^2\theta=0

第二式仅在直立控制区内、电机能提供请求扭矩时成立。

相对轴的功率

E=\tfrac12 I_b\dot\theta^2+\tfrac12J\nu^2+G(\cos\theta-1),\qquad\dot E=\tau(\nu-\dot\theta)

电机做功可正可负。这是机械轴功，不包含耗电与电损耗。

常见难点

反馈并非无限强

容易误解开启反馈就一定能从任意初态恢复。

正确理解比较上限预设。这些是驱动能力有限的局部平衡控制器，不是起摆算法。

绝对与相对转动

容易误解杆静止，飞轮就停止。

正确理解分别读取转子绝对角动量与电机相对转速。

动手实验

01
释放
拖动金色初始倾角手柄，再播放。
应该观察到： 观察摆杆与有符号驱动请求。
02
寻找极限
选择降低转速上限，再比较更大的飞轮。
应该观察到： 寻找请求驱动和实际驱动分离的时刻。
03
核对能量
到达回放终点，导出记录，并比较标准与精细积分。
应该观察到： 机械能的变化跟随电机有符号做功。

一手理论资料：MIT · Cart-Pole · ETH Zürich · 1D reaction-wheel model, Section II