量子反差 / 概率流逆着动量走

量子环上的逆流

环上的动量全都向前，概率流会在局部倒着走吗？ 局部确实会。把环上两个都向前转的态叠加起来，概率流里就多出交叉项。有些地方交叉项压过了两个态各自向前的流，那里的流就倒着走。相干性一没，逆流也跟着消失。

让环上的粒子处在两个角动量的叠加态，两个角动量都严格为正。在干涉图样上移动角度窗口，找出概率流倒着走的位置；再去掉相干，逆流就消失了。角位置和角动量分别在各自重新制备的粒子上测量。

模型精确求解无外场理想圆环上的粒子，只含两个角动量态。波带的高度是沿环的概率密度，箭头表示概率流，不是粒子轨迹。观察窗口是理想化的探针，不扰动量子态。对角位置采样，并不能直接测出概率流。直线运动推出的逆流上限，不适用于圆环。

正值负值

门处概率流

0

高度：密度，五倍增益 · 箭头：概率流方向 · 从上看逆时针为正

0

测量这个态，保留每个结果

角度和角动量分开测，每次都重新制备。

角位置和角动量分别独立采集。带正负号的概率流来自模型预测，不是由这些结果算出来的。

原始记录

0

概率流 · 门处

0

扇区占据 · 样本

\text{—}

平均角动量 · 模型

1

角分布：移动观察门

$\theta\ (\mathrm{rad})$

0

青色：精确概率密度；描边圆点：记录频率除以箱宽。金色观察门是四分之一圆弧扇区的起点。

模型给出的带正负号概率流

\text{—}

青色和珊瑚色：正向与反向概率流；琥珀色：相同动量占据、无相干的对照。占据误差为一个二项标准误；仅凭位置计数不能得到这些曲线。

模型、单位与实际测量对象

\psi(\theta,s)=\frac{\cos\eta\,e^{i\theta-is/2}+e^{i\phi}\sin\eta\,e^{im\theta-im^2s/2}}{\sqrt{2\pi}}

s=\frac{\hbar t}{MR^2},\quad j=\operatorname{Im}(\psi^*\partial_\theta\psi),\quad \frac{t}{T_b}=\frac{s(m^2-1)}{4\pi}

公式写的是纯态；相干控件只缩放密度矩阵的非对角项。两个角动量都严格为正：一个是约化普朗克常数的一倍，另一个是所选的整数倍。从上往下看，逆时针为角度正方向。时间滑块走完的是密度的一个拍频周期，不一定是绕环一整圈。概率流按无量纲时间计，密度按每弧度计。

\frac{d}{ds}\int_{\theta_g}^{\theta_g+\pi/2}\rho\,d\theta=j(\theta_g)-j(\theta_g+\pi/2)

金色观察门只是标记位置，不吸收波函数，也不让它坍缩。有限扇区有两条边界，所以扇区占据的变化不等于穿过单个门的通量。无相干对照的各模式占据与原态相同。位置和动量来自不同的新制备，从来不是同一粒子同时的取值。不模拟实体探测器、势能、磁通和相互作用，所用的态也没有针对最大逆流做优化。

Goussev · Quantum backflow in a ring, equations 5–14 and 21

先抓重点

核心问题: 环上的动量全都向前，概率流会在局部倒着走吗？
一句话直觉: 概率流里有两列正动量波之间的交叉项。在某些位置，交叉项能压过两列波各自的正向流。

核心数学模型

演化

E_m=\frac{\hbar^2m^2}{2MR^2},\quad m_1=1,\quad m_2\in\{2,\ldots,8\}

两个角动量分量都是正的。调相对相位会改变干涉，但两个态各自的占据不变。

移除相干

\rho_{12}\longmapsto v\rho_{12},\quad 0\leq v\leq1

这个噪声通道不改变对角占据，描述的不是能量损失。

实际记录

P_{[a,b]}=\int_a^b|\psi(\theta)|^2\,d\theta

角位置样本用来估计粒子落在扇区里的概率；角动量样本来自另一批独立制备。两种样本都给不出粒子轨迹。

常见难点

画面是模型，不是测量

容易误解移动的密度峰就是粒子在走，观察门测的是它的速度。

正确理解模型精确求解无外场理想圆环上的粒子，只含两个角动量态。波带的高度是沿环的概率密度，箭头表示概率流，不是粒子轨迹。观察窗口是理想化的探针，不扰动量子态。对角位置采样，并不能直接测出概率流。直线运动推出的逆流上限，不适用于圆环。

动手实验

01
找到逆流
选择「局部逆流」，将门移到珊瑚色箭头，或点击「寻找逆流处」。
你会看到： 某处的概率流可以是负的，平均角动量却一直为正。
02
采集测量数据
采集 500 次角位置，再另外采集 500 次角动量，每次都重新制备。看粒子落在扇区里的频率。
你会看到： 测到的角动量全是正的。角位置直方图逼近的是概率密度，不是概率流曲线。
03
移除干涉
选择「移除相干」，保持相同动量权重，查看概率流。
你会看到： 失去相干后，混合态在环上各处的概率流都一样，而且为正。对这类双模态，等权重的相干叠加同样没有负流。