释放 / 碰撞 / 重逢

量子牛顿摆

两团原子在谐振阱里反复相撞，为什么总能回到起始的样子，阱一变形就不行了？ 谐振阱里，不论能量高低，原子来回一趟的时间都一样，每过半个周期，整团密度就回到起始形状。硬核排斥也不碍事：一维里互不穿透的玻色子，位置分布和无相互作用的费米子完全相同。阱一变形，不同能量的周期不再相等，节拍就慢慢散开，其中并没有摩擦。

把两团一维硬核玻色气体放进同一个阱。拖动时间看它们反复碰撞，改变阱的形状，再采集原子位置，这些位置彼此关联。

气体处在零温 Tonks–Girardeau 极限，用含时 Bose–Fermi 映射来演化。初态由平移后的轨道正交化得到，不是解出来的双阱基态。谐振阱里密度会重现，但这说明不了真实气体会不会热化。

一维气体 · 无限强排斥

初始密度回来了多少

0

演化时刻

\tau=0

拖动时间轴，对照，再采集位置

把整段相遇，铺开来看。

时间向下流动

00.3

上下拖动白线穿过时间。概率密度使用固定颜色刻度与平方根增益。水平方向是位置，不是动量。

这一刻，仔细看

青色：当前。灰色虚线：初始密度。金色：定格时的模型对照。每条曲线的积分都是一。

均方根宽度

0

总量数值漂移

0

能量数值漂移

0

最大边缘占比

0

高波数占比

0

模拟位置测量

云是预测，点是记录。

在选定时刻采集十六次重新制备的样本。每一行都是独立的破坏性位置测量；拖动时间不会移动旧记录。位置轴缩放至包含全部记录点。

按占据轨道行列式采样硬核位置关联。一次样本中，同一格点不能出现两次。

模型、单位与科学来源

有限个零温硬核玻色子。左右两侧从平移的谐振子轨道开始，再对合并的占据子空间正交化。释放后，全体在同一个谐振加四次势中演化。这里选择易懂的初态，不复现 2006 年实验的 Bragg 脉冲序列。

\begin{gathered}i\partial_\tau\varphi_j=\left(-\tfrac12\partial_\xi^2+V\right)\varphi_j\\V=\tfrac12\xi^2+\lambda\xi^4\end{gathered}

位置正方向向右，所有控制量均无量纲。先选长度单位，质量与约化普朗克常数决定时间单位。牛顿摆取释放后谐振子的长度。控制数值不标定为微米、毫秒或磁场。

\begin{aligned}\xi&=x/\ell\\\tau&=t\hbar/(m\ell^2)\\p&=\rho\big/\!\int\rho\,d\xi\end{aligned}

求解器使用周期空间网格：牛顿摆取 512 个采样点，孤子取 1024 个，时间推进用对称分步傅里叶法。计算区域比画面中的原子云大。整个运行过程都检查边缘占据、高波数权重和守恒量漂移。时间帧是离散的；在空间点之间连线作图，并不增加物理分辨率。颜色和立体高度用固定的平方根显示增益。

R_\rho(\tau)=\left[\int\sqrt{p(\xi,0)p(\xi,\tau)}\,d\xi\right]^2

返回程度只比较密度，不是多体态保真度。位置概率可映射到自由费米子，玻色子动量分布却不能直接读取轨道的傅里叶变换。非谐退相位本身也不构成热化证据。

金色定格模型曲线与采集点是两回事。原始 CSV 保留制备条件、随机种子、选定时刻和每个位置索引，后面附上对应的模型密度。这里没有从采集点重建任何东西。

先抓重点

核心问题: 两团原子在谐振阱里反复相撞，为什么总能回到起始的样子，阱一变形就不行了？
一句话直觉: 硬核玻色气体的位置概率和 Slater 行列式相同，动量分布却不一样。

核心数学模型

演化方程

i\partial_\tau\varphi_j=\left[-\frac12\partial_\xi^2+\frac{\xi^2}{2}+\lambda\xi^4\right]\varphi_j

这里用无量纲的谐振子单位。每个占据轨道都按同一个单粒子哈密顿量演化，多体位置概率由它们的行列式给出。

图上画的是什么

\rho(\xi,\tau)=\sum_{j=1}^{N}|\varphi_j|^2,\qquad p=\rho/N

剖面和时间图画的是单位无量纲长度上的概率。立体图的高度取密度的平方根，画的是密度，不是原子云的横向形状。

常见难点

动画不等于测量记录

容易误解这些点追踪同一批原子穿过碰撞。

正确理解采集的每一行都是在固定时刻重新制备的样本。移动时间光标后，旧记录仍保持原样。

模型没有包含什么

容易误解这里定量复现了一台真实实验装置。

正确理解气体处在零温 Tonks–Girardeau 极限，用含时 Bose–Fermi 映射来演化。初态由平移后的轨道正交化得到，不是解出来的双阱基态。谐振阱里密度会重现，但这说明不了真实气体会不会热化。

动手实验

01
准备
拖动准备轨道上的金色手柄，改变初始间距。
你会看到： 两团初态同时移动，整段演化随之重算。
02
找到碰撞
播放或拖动时间图，在同一时刻对比不同预设。
你会看到： 谐振阱里，密度会一次次回来。加上四次势，运动的节拍逐渐错开，但并没有加入摩擦。
03
测量
在选定时刻采集十六次独立制备的云，定格并导出原始位置。
你会看到： 每次样本里正好是所选数目的原子，位置之间带有硬核关联。