量子时间：盒中的一个粒子

量子地毯与波包复现

盒子里散开的波，为什么会变回原来的形状？ 因为盒子里的能级按模式序号的平方增长。过了一个复现时间，所有相位重新对齐，散开的波一丝不差地变回初始形状。中途在这个时间的一些简单分数处，还会出现镜像和分成几份的副本。

在两堵完全反射的墙之间放出一个局域波包。拖动起点，看整张时空地毯：波包出现镜像，分成几份，最后原样回来。定格某一时刻，再用一次次独立的位置测量攒出这一刻的分布。

空间 · 时间

起点固定势壁

此刻的波 · 固定密度刻度

正在制备能谱…

停在某一时刻，采集数据

波落在了哪里？

每个理想读出来自一次独立、相同的制备。采集会暂停时间。

记录次数

0

初态重叠概率 · 模型

1

平均位置 · 记录

\text{—}

总概率 · 模型

1

模型 / 记录 / 定格

横坐标 $x/L$

青色：模型；金色：记录的频率密度；虚线：定格模型。各柱使用等宽区间。

重叠概率 / 一个复现周期

重叠比较完整复振幅与初态。镜像密度的初态重叠可以很小。

0

模型、单位与画面的含义

初始高斯波包乘上一个正弦包络，在两端势壁处振幅为零。前 64 个正弦系数按精确的平方能谱演化。宽度指乘上包络之前的高斯参数。

E_n=\frac{\pi^2\hbar^2n^2}{2mL^2},\quad T_{\mathrm{rev}}=\frac{4mL^2}{\pi\hbar}

所有时间均以复现周期为单位。记录从显示的 384 格密度中归一化抽取，采用理想探测器。不模拟仪器响应、热系综或有限成像分辨率。显示亮度采用固定平方根增益。

原始研究：Loinaz & Newman (1999)

先抓重点

核心问题: 盒子里散开的波，为什么会变回原来的形状？
一句话直觉: 能量随模式序号的平方增长，散开的各个模式因此能重新同相。完整复现恢复的是整个波，不只是平均位置。

核心数学模型

能谱

E_n=\frac{\pi^2\hbar^2n^2}{2mL^2},\quad T_{\mathrm{rev}}=\frac{4mL^2}{\pi\hbar}

时间按这个精确复现周期的几分之几来显示。转子的转动常数用能量单位表示。

随时间演化的波包

\psi(x,t)=\sum_{n=1}^{64}c_n\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L}\,e^{-iE_nt/\hbar}

制备的高斯波包乘上一个正弦包络，在硬壁处降为零。画面显示的是它在有限个模式上的投影，已归一化。

测量数据估计的是什么

F(t)=|\langle\psi(0)|\psi(t)\rangle|^2

返回概率取决于完整的复振幅，只能由模型算出来作对照。光靠位置计数，既测不出也重建不了它。

常见难点

画面表示什么

容易误解一个粒子处在一维无限深势阱里。初态是在壁上为零的高斯波包，用 64 个正弦模式展开并归一化。不考虑环境和相互作用，也没有穿过势壁的泄漏。地毯是模型给出的概率图，不是粒子的轨迹。

正确理解纵轴是时间，不是第二个空间方向。亮条纹表示高概率区域，不标识单个粒子走过的路径。

动手实验

01
先预测，再跳转
比较初态、四分之一周期、半周期和整周期。
你会看到： 分成几份、镜像和原样返回，是几种不同的状态。
02
一次只改一处
势壁不动，拖动起点或加上初始动量。
你会看到： 比较整段时间演化，不要只看一张好看的画面。
03
采集并对照
采集 500 次独立读出。定格样本后改变时刻，再恢复样本，导出原始 CSV。
你会看到： 计数会起伏。标准误只反映抽样误差，青色参考线来自模型。