M004 · 该向哪里追

追逐与拦截

追上移动的目标，该瞄向哪里？ 朝未来的相遇点瞄准。目标横向移动时，直接追着当前位置跑会不断转弯；提前瞄准能缩短路线。转向受限、位置报告太旧或目标突然转弯，都可能让拦截落空。

比较直接追踪、提前瞄准与比例导引。拖动目标，限制转向，延迟它的位置报告，再完成直线目标的最短时间拦截任务。

当前距离 $3\,\mathrm{m}$

接近速率 $1\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

实际转向率 $0\,{}^{\circ}\,\mathrm{s^{-1}}$

追踪状态 $\text{Tracking}$

直线目标最短拦截时间 $0\,\mathrm{s}$

本次最小距离 $0\,\mathrm{m}$

捕获时间 $0\,\mathrm{s}$

模型时间 $0\,\mathrm{s}$

先预测路线，再看运动

追当前位置，还是向前瞄准？

追逐者速率

v_p

1.8\,\mathrm{m\,s^{-1}}

目标速率

v_t

1.2\,\mathrm{m\,s^{-1}}

最大转向率

\Omega_p

140\,\mathrm{{}^{\circ}\,s^{-1}}

目标报告延迟

\tau

0\,\mathrm{s}

目标转向率

\Omega_t

0\,\mathrm{{}^{\circ}\,s^{-1}}

追踪策略

j

0

目标初始水平位置

x_t(0)

3.5\,\mathrm{m}

目标初始横向位置

y_t(0)

1\,\mathrm{m}

目标初始航向

\phi_t(0)

90\,\mathrm{{}^{\circ}}

追逐者初始航向

\psi(0)

16\,\mathrm{{}^{\circ}}

比例导引增益

N

3

试验时间上限

T

12\,\mathrm{s}

捕获中心距离阈值

\rho

0.25\,\mathrm{m}

回放进度

\eta

0\,\mathrm{\%}

目标以恒定速率沿直线或圆周运动。各策略收到同样的延迟目标位置和速度，不补偿信息年龄；自身姿态取当前值。直接追踪与提前瞄准采用 0.2 秒航向响应，并限制转向率。比例导引把接近速度与视线转速组成垂直自身速度的转向指令。中点积分与步内距离事件为数值近似。解析最短时间任务限于直线目标、零报告延迟、可自由选择初始航向，不声称求出了转弯目标的全局最优控制。

模型假设

两个恒速质点在平面内运动，转向率有上限，目标位置报告可延迟。两者中心距离达到给定阈值时结束；机器人外形为示意。不求解碰撞、受力或车辆动力学。

先抓重点

核心问题: 追得上，靠的是预测得准，还是转得够快？
一句话直觉: 距离不断缩小、视线方向却不变时，双方正朝着相遇走；这与一直对准目标不同。

核心数学模型

恒速运动与转向上限

\dot{\mathbf p}=v_p\begin{pmatrix}\cos\psi\\\sin\psi\end{pmatrix},\qquad |\dot\psi|\le\Omega_p

机器人保持速率，只改变方向。转向率上限是运动学限制，不求解电机力矩或轮胎受力。

从延迟的位置报告求视线变化

\begin{aligned}\mathbf r_o&=\mathbf q(t-\tau)-\mathbf p(t)\\\dot\lambda_o&=\frac{r_{o,x}\dot r_{o,y}-r_{o,y}\dot r_{o,x}}{|\mathbf r_o|^2}\end{aligned}

目标报告可以滞后，自身姿态取当前值。三种反馈规则共用这些报告，不补偿信息年龄；目标在出发前的轨迹也已定义。

恒速机器人中的比例导引

\begin{aligned}V_c&=-\frac{\mathbf r_o\cdot\dot{\mathbf r}_o}{|\mathbf r_o|}\\a_\perp&=N\max(V_c,0)\dot\lambda_o\\\dot\psi&=\mathrm{clip}_{[-\Omega_p,\Omega_p]}(a_\perp/v_p)\end{aligned}

把视线转速组成的标量指令，变成垂直自身速度的加速度，再限制转向率。这是平面简化模型，不包含真实导航系统的传感器、姿态与执行器动力学。

直线目标的最早相遇时刻

\begin{aligned}|\mathbf r_0+\mathbf v_tT_*|&=v_pT_*+\rho\\\psi_*&=\arg(\mathbf r_0+\mathbf v_tT_*)\end{aligned}

取最早的非负解。在此之前，即使全速走直线，也到不了目标的捕获圆。目标保持匀速直线运动、初始信息无延迟且可自由选择出发航向时，直线路线达到这个下限。

常见难点

始终对准，未必路最短

容易误解最短路线就是一直朝目标现在的位置跑。

正确理解目标横向运动时会离开那个位置。瞄准未来的相遇点，才把它还要走的路算进去。

预测对了，还要转得过去

容易误解知道相遇点，就一定追得上。

正确理解机器人若一开始朝错方向，转过去还需要时间。解析最短时间方案允许预先选好初始航向。

准确的位置也会过时

容易误解位置报告没有误差，就足够了。

正确理解旧报告可以准确地描述过去，目标却还在走。报告年龄也会影响当前该怎么转。

动手实验

01
先看直接追踪
选“追着现在跑”，再点“重放”。
你会看到： 金色目标横向移动，蓝色路线随之弯曲。
02
向前瞄准
选“向前瞄准”，保持速率和转向上限相同。
你会看到： 机器人先向目标前方的相遇点修正，路线与捕获用时都改变。
03
完成最短路任务
选“直线目标最短路”，展开预测详情。
你会看到： 机器人按解析求出的方向出发，捕获用时在数值误差内达到直线目标的理论下限。
04
让目标转弯
选“目标转弯”，再调目标转向率。
你会看到： 比例导引按视线转速持续修正；直线目标的最短时间结论不再适用。
05
让信息慢下来
选“迟来的位置”，增大目标报告延迟。
你会看到： 控制器使用旧坐标转向，真实目标仍继续运动。
06
保持条件相同再比较
展开策略模拟比较，保持物理设置不变。
你会看到： 三种反馈规则共用初始航向、速率、转向限制和延迟报告；未捕获的试验只给出最小距离。

核心数学模型

恒速运动与转向上限

从延迟的位置报告求视线变化

恒速机器人中的比例导引

直线目标的最早相遇时刻

常见难点

始终对准，未必路最短

预测对了，还要转得过去

准确的位置也会过时

动手实验

先看直接追踪

向前瞄准

完成最短路任务

让目标转弯

让信息慢下来

保持条件相同再比较