M028 · 绳索约束与做功

滑轮组与机械利益

滑轮组让人省了力，省下的力去了哪里？ 换成了距离。承重的绳段越多，拉力越小，但要拉的绳子按同样比例变长，理想情况下做的功不变。真实滑轮还有质量和轴承摩擦，轮子加多了反而可能更费力。

把绳绕在定滑轮、动滑轮或四段承重的复合滑轮组上。跟踪绳长、每个滑轮的转速和各段绳不相等的张力，再比较拉力做的功、负载得到的能量和轴承损耗。

负载相对释放点的上升量 $0\,\mathrm m$

从锚点起第 1 段绳张力 $0\,\mathrm N$

从锚点起第 2 段绳张力 $0\,\mathrm N$

从锚点起第 3 段绳张力 $0\,\mathrm N$

从锚点起第 4 段绳张力 $0\,\mathrm N$

从锚点起第 5 段绳张力 $0\,\mathrm N$

记录时刻 $0\,\mathrm s$

负载坐标，向上为正 $0\,\mathrm m$

负载速度 $0\,\mathrm{m/s}$

负载瞬时加速度 $0\,\mathrm{m/s^2}$

广义惯性质量 $0\,\mathrm{kg}$

平动动能 $0\,\mathrm J$

滑轮转动能 $0\,\mathrm J$

绳动能 $0\,\mathrm J$

重力势能变化 $0\,\mathrm J$

输入端有符号行程 $0\,\mathrm m$

自由端做功 $0\,\mathrm J$

轴黏性阻尼做功 $0\,\mathrm J$

积分能量残差 $0\,\mathrm J$

已采位置样本 $1$

当前记录二次拟合加速度 $\text{Need 3 samples}$

二次位置拟合均方根残差 $\text{Need 3 samples}$

记录结束时刻 $0\,\mathrm s$

记录首个边界 $\text{Travel boundary}$

理想承重段数 $2$

实际承重力与输入力之比 $2$

最小绳段张力 $0\,\mathrm N$

绳索、运动与功

滑轮组让人省了力，省下的力去了哪里？

物理受力每次试验里，力箭头都用同一个固定比例。整个运动组件质量

m

2.00\,\mathrm{kg}

自由端向下拉力

F

12.00\,\mathrm N

每个滑轮的转动惯量

I

0.00\,\mathrm{kg\,m^2}

每根轴的黏性阻尼系数

B

0.00\,\mathrm{N\,m\,s}

负载初始坐标

q_0

0.00\,\mathrm m

位置传感器采样间隔

\Delta t

0.10\,\mathrm s

有界位置噪声幅度

\varepsilon

0.00\,\mathrm{mm}

检查记录时刻

t/t_{\mathrm{end}}

0.00\,\%

负载向上为正，输入端向下为正。要数承重的绳段，不是数滑轮。质量包括整个运动组件。惯性和轴承损耗让各段绳的张力不再相等；只要有一段张力降到零，绷紧绳模型就不再适用。

传感器只记录到游标所在的时刻。噪声有界，而且可以重复；改动任何设置都会开始一次新试验。二次位置拟合要三个样本，并假设加速度恒定。绳重和黏性阻尼都可能让这个假设不成立，这时要看拟合残差和瞬时加速度。CSV 导出采集到的位置和拟合结果，与模型真值分开。

实验提供三种固定的平面绕法。绳子没有质量，始终绷紧，不能伸长，在轮缘上也不打滑。运动组件的质量包括跟着一起移动的滑轮；每个滑轮都用所选的转动惯量和黏性轴阻尼系数。滑轮半径固定为 18 厘米。无摩擦导轨让运动组件只升降、不翻转。发生碰撞前，或任意一段绳的张力第一次降到零时，记录就结束，不模拟松弛的绳。

先抓重点

核心问题: 增加滑轮一定更省力吗？
一句话直觉: 承重绳段数决定理想情况下省多少力、多拉多少绳；真实滑轮转速各不相同，要花力气转起来，每过一个轮张力还会降一点。

核心数学模型

绳长不变，把运动连在一起

\Delta s_{\mathrm{in}}=n\Delta q,\qquad n\in\{1,2,4\}

负载向上为正，自由端向下为正。三种绕法里，绳长都保持不变。

每个滑轮转速不同

|\omega_j|=\frac{j|\dot q|}{R},\qquad S=\sum_{j=1}^{n}j^2

滑轮从固定端往自由端依次编号。复合组里，动滑轮编号为奇数，定滑轮为偶数，两类滑轮转向相反。

整个运动组件的运动方程

\left(m+\frac{IS}{R^2}\right)\ddot q+\frac{BS}{R^2}\dot q=nF-mg

组件质量包括跟着负载一起移动的滑轮。每个滑轮的转动惯量和轴阻尼都取同一个设定值，和图上画多大无关。

沿绳逆推张力

T_n=F,\qquad T_{j-1}=T_j-\frac j{R^2}(I\ddot q+B\dot q)

各段承重绳的张力合起来加速运动组件。绳只能拉不能推，每段张力都不能小于零。一旦有张力降到零，绷紧绳模型就停下，不再往下算。

省力不省功

\Delta K+mg\Delta q=F\Delta s_{\mathrm{in}}-\int_0^t\frac{BS}{R^2}\dot q^2\,\mathrm dt

动能既包括负载的平动，也包括滑轮的转动。拉得极慢又没有损耗时，拉力等于重量除以承重段数；有加速度和损耗时就不再如此。

常见难点

数绳段，不数轮子

容易误解每增加一个轮子就加倍省力。

正确理解只有向上拉运动组件的绳段才参与承重。

动起来，受力就变了

容易误解输入拉力乘承重段数始终等于重量。

正确理解组件加速时，一部分拉力要用来让它加速、让滑轮转起来，这些都得算进去。

绳不能推

容易误解张力变成负的，方程照样能用。

正确理解负张力意味着绳在推。任何一段绳一松，模型就停下。

动手实验

01
改变力的方向
选“只改变方向”预设，比较负载和自由端各移动多远。
你会看到： 力的方向变了，两端移动的距离一样。
02
用距离换省力
比较“省一半力”和“只用四分之一拉力”两个预设。
你会看到： 两种绕法对负载的驱动相同，但只用四分之一拉力时，拉力减半，要拉的绳长加倍。
03
逐个看滑轮
选“轴承要耗功”，展开“位置传感器与更多读数”，点“完成记录”。
你会看到： 各滑轮转速不同，各段张力也不同。拉力做的功，等于负载和滑轮得到的能量，加上轴承损耗掉的能量。
04
看模型在哪里停下
调低运动组件质量，再调高自由端拉力和轴阻尼系数。
你会看到： 负载走到行程尽头，或者某段张力第一次降到零，记录就结束。实验不会算出负张力。