M028 · 绳索约束与做功

滑轮组与机械利益

选择定滑轮、动滑轮或四段承重的复合绕绳。追踪真实绳长、各轮转速与不等绳段张力，再比较拉力做功、负载能量和轴损耗。

记录时刻 $0\,\mathrm s$

负载坐标，向上为正 $0\,\mathrm m$

负载速度 $0\,\mathrm{m/s}$

负载瞬时加速度 $0\,\mathrm{m/s^2}$

广义惯性质量 $0\,\mathrm{kg}$

平动动能 $0\,\mathrm J$

滑轮转动能 $0\,\mathrm J$

绳动能 $0\,\mathrm J$

重力势能变化 $0\,\mathrm J$

输入端有符号行程 $0\,\mathrm m$

自由端做功 $0\,\mathrm J$

轴黏性阻尼做功 $0\,\mathrm J$

积分能量残差 $0\,\mathrm J$

已采位置样本 $1$

当前记录二次拟合加速度 $\text{Need 3 samples}$

二次位置拟合均方根残差 $\text{Need 3 samples}$

记录结束时刻 $0\,\mathrm s$

记录首个边界 $\text{Travel boundary}$

理想承重段数 $2$

实际承重力与输入力之比 $2$

最小绳段张力 $0\,\mathrm N$

预测 / 采样 / 核对

省下的力去了哪里？

物理受力每次试验使用固定受力比例尺整个运动组件质量

m

2.00\,\mathrm{kg}

自由端向下拉力

F

12.00\,\mathrm N

每个滑轮的转动惯量

I

0.00\,\mathrm{kg\,m^2}

每根轴的黏性阻尼系数

B

0.00\,\mathrm{N\,m\,s}

负载初始坐标

q_0

0.00\,\mathrm m

位置传感器采样间隔

\Delta t

0.10\,\mathrm s

有界位置噪声幅度

\varepsilon

0.00\,\mathrm{mm}

检查记录时刻

t/t_{\mathrm{end}}

0.00\,\%

负载向上、输入端向下为正。数承重绳段，而非滑轮个数。质量包含整个运动组件。惯量与轴损耗使绳段张力不等；零张力终止绷紧绳模型。

传感器只采集到当前游标时刻。噪声有界且可重复；编辑创建新试验。二次位置拟合需要三个样本并假设恒定加速度。绳重与黏性阻尼会破坏该假设；核对拟合残差与瞬时加速度。CSV 导出采集位置及其拟合，与模型真值分开。

三种确定的平面拓扑，采用无质量、绷紧、不可伸长且轮缘无滑动的绳。运动组件质量包含平移滑轮；每轮采用所选惯量与黏性轴阻尼。半径固定为 18 厘米。记录在碰撞前或首个零张力时结束；不继续模拟松绳。

先抓重点

核心问题: 增加滑轮一定更省力吗？
一句话直觉: 承重绳段数决定理想力比与行程比；实际滑轮还带来不同转速、惯性负载和张力损耗。

核心数学模型

绳长就是约束

\Delta s_{\mathrm{in}}=n\Delta q,\qquad n\in\{1,2,4\}

负载向上、输入端向下为正。三种预设绕绳几何保持绘出的绳长恒定。

每轮转速不同

|\omega_j|=\frac{j|\dot q|}{R},\qquad S=\sum_{j=1}^{n}j^2

从锚定端向自由端编号。复合组动轮为奇数倍、定轮为偶数倍，转向相反。

求解完整运动组件

\left(m+\frac{IS}{R^2}\right)\ddot q+\frac{BS}{R^2}\dot q=nF-mg

组件质量包含平移滑轮。每轮使用相同所选惯量和轴阻尼，与示意外形独立。

沿绳逆推张力

T_n=F,\qquad T_{j-1}=T_j-\frac j{R^2}(I\ddot q+B\dot q)

承重张力总和加速运动组件。所有张力必须非负；首次零张力时终止绷紧绳模型，不继续用失效约束。

省力不等于免费做功

\Delta K+mg\Delta q=F\Delta s_{\mathrm{in}}-\int_0^t\frac{BS}{R^2}\dot q^2\,\mathrm dt

动能包含平动与转动。理想准静态拉力为重量除以承重段数；加速度与损耗会改变这一关系。

常见难点

数绳段，不数轮子

容易误解每增加一个轮子就加倍省力。

正确理解只有向上拉运动组件的绳段才参与承重。

动态力不等于静态重量

容易误解输入拉力乘承重段数始终等于重量。

正确理解运动组件能加速并驱动滑轮，这些能量与受力项不能遗漏。

绳不能推

容易误解张力变负后方程仍然有效。

正确理解模型在首次松弛边界结束，不施加绳索压力。

动手实验

01
改变力方向
选择定滑轮，比较负载和输入端行程。
应该观察到： 方向改变，行程大小相同。
02
以行程换省力
比较理想两段与四段承重场景。
应该观察到： 负载驱动力相同，四段组拉力减半、输入行程加倍。
03
逐轮核对
选择有损复合组，完成记录。
应该观察到： 转速和绳段张力各不相同，轴做功使能量账本闭合。
04
找到约束边界
降低组件质量，提高拉力与轴阻尼。
应该观察到： 行程边界或首次零张力终止记录，不模拟无效负张力。