光学 074 · 偏振、各向异性与光学调制

偏振反光与天空

为什么偏振滤镜压暗水面反光和蓝天，往往要转到不同角度？ 两种偏振来源不同。水面反光的偏振来自反射，在 Brewster 角附近最强；蓝天的偏振来自 Rayleigh 散射，取决于和太阳的夹角，离太阳约 90 度处最强。两者偏振方向一般不一样，压暗反光的那个角度，未必能压暗天空。

转动一片滤镜，可以看到两种机制。一是 Fresnel 反射：系数带正负号，在布儒斯特角附近产生反光，并作用于本已偏振的天光。二是 Rayleigh 散射：它让天空各个方向的偏振都不同。

水面偏振度／透射

P_{\rm water},T

$0.50$

天空散射角／偏振度

\gamma,P_{\rm sky}

$50\%$

布儒斯特角／平行反射率

\theta_B,R_p

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

水面视线相对法线夹角

\theta_i

53.12^{\circ}

透光轴相对图像水平角

\alpha

90^{\circ}

太阳仰角

h_\odot

36.88^{\circ}

太阳方位角

A_\odot

0^{\circ}

观察方位角

A_{\rm view}

0^{\circ}

下层介质折射率（水为 1.333）

n_2

1.33

滤镜：零移出，一插入

j_F

1

显示曝光档（不是源功率）

e

1.50

转动金色的透光轴。水面反光可以消失，另一片天空却依旧明亮。让太阳、水面和观察者对齐，再在固定曝光下比较同一视角加滤镜和不加滤镜的画面。天空不是一盏均匀的蓝灯，偏振方向在整个半球上各处不同。

水面是理想的平整介质，天空只考虑单次 Rayleigh 散射。角度全景图是合成的，辐亮度用任意单位，太阳画得比实际大。不考虑波浪、云、噪声和相机标定。

先抓重点

核心问题: 为什么偏振滤镜压暗水面反光和蓝天，往往要转到不同角度？
一句话直觉: 天空遵循另一个角： $P_{\rm sky}=\frac{\sin^2\gamma}{1+\cos^2\gamma}$ 。这里的散射角是太阳方向和所看天空方向之间的夹角，不是看水面时的入射角。偏振轴在天空各处不同，所以一片滤镜不会让每个方向都暗得一样多。

\begin{aligned}r_s&=\frac{n_1c_i-n_2c_t}{n_1c_i+n_2c_t}\\r_p&=\frac{n_2c_i-n_1c_t}{n_2c_i+n_1c_t}\\n_1\sin\theta_i&=n_2\sin\theta_t\\R_j&=r_j^2\\T_j&=\frac{n_2c_t}{n_1c_i}t_j^2\\R_j+T_j&=1\end{aligned}

余弦里的角都从法线量起。最后一个等式对无损界面的每个纯偏振分量分别成立，不适用于已经过摄影滤镜的光。空气折射率取一，水的参考折射率为 1.333。

\begin{aligned}\cos\gamma&=\widehat{\mathbf s}\cdot\widehat{\mathbf d}\\\mathbf e_\perp&\parallel\widehat{\mathbf s}\times\widehat{\mathbf d}\\I_\perp&=\tfrac12\\I_\parallel&=\tfrac12\cos^2\gamma\end{aligned}

入射光为单位强度的非偏振光，所有辐亮度共用一个任意尺度。两个互不相干的横向模，同时给出强度的角分布和偏振度。正前方或正后方散射时，偏振轴没有定义，但强度仍然有限，而且不偏振。

\begin{aligned}\mathbf C&=\sum_m w_m\mathbf e_m\mathbf e_m^{\mathsf T}\\I&=\operatorname{tr}\mathbf C\\I_\alpha&=\mathbf a_\alpha^{\mathsf T}\mathbf C\mathbf a_\alpha\\0&\le I_\alpha\le I\end{aligned}

同一组非相干模依次经过带符号的反射振幅和理想检偏投影。未过滤视图画的是同一批光线去掉滤镜后的样子，作为参考。蓝色和非线性显示映射只是示意，不是光谱预测。

容易误解转动它，整个景色应按相同比例变暗。

正确理解理想偏振片总是把非偏振光减掉一半，对偏振光则有选择地透过。水面反射的天空光，在到达水面之前就已经偏振了。计算保留了这个入射偏振和带符号的 Fresnel 振幅，并不假设每条射向水面的光一开始都是非偏振的。

01
场景 1：Brewster 角眩光
从布儒斯特反光开始。比较水平和竖直透光轴，再移出滤镜。只有几何关系对上时，太阳的反射光才指向相机。
你会看到： 全景图是按方向合成的辐亮度图，不是相机拍的。理想透光轴逐条投影到每根光线上。广角镜头和滤镜的标定，以及真实的大气测光，都不在模型范围内。
02
场景 2：Rayleigh 天空偏振图
选择天空预设。改变太阳方位角，看天空图、散射角读数与天空透射同步变化。
你会看到： 天空图是单独的理想参考。图上的短线表示当地的偏振轴；短线的长度和所在的角度球面都放大了，只用来指示方向。
03
场景 3：摄影偏振镜
选择摄影预设，转动同一个实体透光轴。在相同曝光下比较两个标记方向；再改变显示曝光，确认物理比例没有变。
你会看到： 水面平坦，水体半无限深，没有波浪，也没有水底照明。光源特意加宽，好让反光看得见；它的宽度和任意设定的亮度都不是太阳的测量值。