光学 074 · 偏振、各向异性与光学调制

偏振反光与天空

一片旋转滤镜，两种机制：偏振天空的有符号 Fresnel 反射、布儒斯特反光与有方向的 Rayleigh 天空。

水面偏振度／透射

P_{\rm water},T

$0.50$

天空散射角／偏振度

\gamma,P_{\rm sky}

$50\%$

布儒斯特角／平行反射率

\theta_B,R_p

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

已验证科学装置

水面视线相对法线夹角

\theta_i

53.12^{\circ}

透光轴相对图像水平角

\alpha

90^{\circ}

太阳仰角

h_\odot

36.88^{\circ}

太阳方位角

A_\odot

0^{\circ}

观察方位角

A_{\rm view}

0^{\circ}

下层介质折射率（水为 1.333）

n_2

1.33

滤镜：零移出，一插入

j_F

1

显示曝光档（不是源功率）

e

1.50

转动金色透光轴。水面反光可以消失，而另一片天空仍亮。对准太阳、界面与观察者，再以固定曝光比较同一角度场景的无滤镜／有滤镜视图。天空不是均匀蓝灯：偏振方向遍布半球且不断改变。

理想平介质与单次 Rayleigh 散射。合成角度全景、任意辐亮度、放大太阳源；无波浪、云、噪声或经标定相机。

先抓重点

核心问题: 为什么旋转同一片滤镜，会在不同方向压暗水面反光与蓝天？
一句话直觉: 天空遵循另一个角： $P_{\rm sky}=\frac{\sin^2\gamma}{1+\cos^2\gamma}$ 。散射角由太阳与天空方向决定，不是看水的入射角。偏振轴随天空位置改变，因此一片滤镜不会把所有方向等比例压暗。

\begin{aligned}r_s&=\frac{n_1c_i-n_2c_t}{n_1c_i+n_2c_t}\\r_p&=\frac{n_2c_i-n_1c_t}{n_2c_i+n_1c_t}\\n_1\sin\theta_i&=n_2\sin\theta_t\\R_j&=r_j^2\\T_j&=\frac{n_2c_t}{n_1c_i}t_j^2\\R_j+T_j&=1\end{aligned}

余弦对应相对法线的角。最后等式针对无损界面的各纯偏振分量，不是经过摄影滤镜后的源功率。空气取一，水的参考折射率为 1.333。

\begin{aligned}\cos\gamma&=\widehat{\mathbf s}\cdot\widehat{\mathbf d}\\\mathbf e_\perp&\parallel\widehat{\mathbf s}\times\widehat{\mathbf d}\\I_\perp&=\tfrac12\\I_\parallel&=\tfrac12\cos^2\gamma\end{aligned}

单位非偏振入射，共用任意辐亮度尺度。两个相互非相干横向模一起给出角强度和偏振度。前／后向散射时偏振轴无定义，但强度有限且非偏振。

\begin{aligned}\mathbf C&=\sum_m w_m\mathbf e_m\mathbf e_m^{\mathsf T}\\I&=\operatorname{tr}\mathbf C\\I_\alpha&=\mathbf a_\alpha^{\mathsf T}\mathbf C\mathbf a_\alpha\\0&\le I_\alpha\le I\end{aligned}

同一组非相干模经过有符号反射振幅及理想检偏投影。未过滤视图是同一批光线的参考，不是另造一张图。蓝色及非线性显示映射只是示意，不是光谱预测。

容易误解转动它，整个景色应按相同比例变暗。

正确理解理想偏振片总把非偏振光减半，却会选择性透过偏振光。反射天空在到达水面前已偏振。计算保留这一输入及有符号 Fresnel 振幅，不假定每条水面光线最初都非偏振。

01
场景 1：Brewster 角眩光
从布儒斯特反光开始。比较水平、竖直透光轴，再移出滤镜。太阳反射线仅在几何对准时才指向相机。
应该观察到： 全景是合成角度辐亮度图，不是相机记录。理想透光轴逐光线投影；广角镜头／滤镜标定与真实大气测光不在模型内。
02
场景 2：Rayleigh 天空偏振图
选择天空预设。改变太阳方位角，看天空图、散射角读数与天空透射同步变化。
应该观察到： 天空图是独立理想参考。短线表示局部物理偏振轴；短线长度和角度球面都是放大的方向参考。
03
场景 3：摄影偏振镜
选择摄影预设。旋转同一实体透光轴，在相同曝光下比较两个标记方向；再改变显示曝光，确认物理比例不变。
应该观察到： 水面平坦且半无限，不含水底照明或波浪。光源刻意展宽，让反光可见；宽度与任意亮度不是太阳测量值。