光学 073 · 偏振、各向异性与光学调制

偏振态探索器

实体旋转偏振光学台：马吕斯定律、第三偏振片效应、计数导出的 Stokes 测量与旋向歧义。

探测器期望／源功率

I_D/I_0

$0.50$

入射偏振／吸收功率

p,I_{\rm abs}

$50\%$

测量／投影检查

\mathcal V

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

已验证科学装置

偏振态探索器

装置（下方有命名按钮）

m

0

方位角

\psi

0^{\circ}

椭圆率角（不是轴比）

\chi

0^{\circ}

入射偏振功率比例

p

1

末片检偏器透光轴

\alpha

35^{\circ}

中间片透光轴

\theta_2

45^{\circ}

中间片：零移出，一插入

j_2

1

圆分析：零移出，一加入

j_C

1

每次等曝光入射期望电子

N_{\rm in}

10000

零期望记录，一 Poisson 计数

n

0

检查分析记录索引

j

0

两片交叉，光灭；中间插入斜放第三片，光又亮。转动实际透光轴，对比固定尺度的场椭圆，再从逐次强度曝光测量 Stokes。移除圆分析，发现线测量不知道什么。

理想吸收式偏振片、单色相干矩阵、固定已标定圆分析器。等曝光，可选 Poisson；不含消光漏光、对准误差或自标定。

物理教程

审查偏振态探索器的物理过程

背景线偏振片透过场的投影，不是方向形状的孔。一般混合偏振态的透射功率为 $I_\alpha=\tfrac12(S_0+S_1\cos2\alpha+S_2\sin2\alpha)$ 。纯线偏振输入时退化为马吕斯定律。非偏振或圆偏振输入时，任意理想线检偏器都透过一半功率。

为什么值得理解强度、偏振椭圆、Jones 矢量与 Stokes 测量怎样编码同一个偏振态？

先抓重点

核心问题: 强度、偏振椭圆、Jones 矢量与 Stokes 测量怎样编码同一个偏振态？
一句话直觉: 线偏振投影看不到旋向： $I_\alpha(S_3)=I_\alpha(-S_3)$ 。加入两次已标定圆分析曝光，才能确定缺失分量。不能从平坦检偏曲线臆测它。

核心数学模型

Jones 场与部分偏振混合

\begin{aligned}\mathbf j&=\cos\chi\,\mathbf a_\psi+i\sin\chi\,\mathbf b_\psi\\\mathbf a_\psi&=(\cos\psi,\sin\psi)^{\mathsf T}\\\mathbf b_\psi&=(-\sin\psi,\cos\psi)^{\mathsf T}\\\mathbf C&=p\mathbf j\mathbf j^\dagger+\tfrac{1-p}{2}\mathbf1\\\mathbf E(t)&=\Re\{\mathbf j e^{-i\omega t}\}\end{aligned}

单位源功率。水平基沿场景负 Z，竖直基沿正 Y；叉乘沿光束正 X。朝向光源看，角度逆时针为正。按这里的 NIST 约定，正椭圆率为左旋。

理想投影与马吕斯极限

\begin{aligned}\mathbf C'&=\mathbf P_\alpha\mathbf C\mathbf P_\alpha^\dagger\\\mathbf P_\alpha&=\mathbf a_\alpha\mathbf a_\alpha^{\mathsf T}\\\mathbf a_\alpha&=(\cos\alpha,\sin\alpha)^{\mathsf T}\\I_{\rm linear}/I_0&=\cos^2(\alpha-\psi)\end{aligned}

正交被拒分量被吸收。纯线偏振出射沿透光轴；不透明镜架不会变透明。

三次投影，不是增添能量

\begin{aligned}I_D/I_0&=\tfrac12\cos^2\theta_2\cos^2(\alpha-\theta_2)\\\alpha&=\tfrac\pi2,\quad\theta_2=\tfrac\pi4\\I_D/I_0&=\tfrac18\end{aligned}

此式假设非偏振入射，第一片固定水平。移出中间片后，交叉首尾两片透射为零。

由计数估计，不复制 Stokes 答案

\begin{aligned}C_b&\sim{\rm Poisson}(N_{\rm in}I_b)\\\widehat S_0&=\tfrac{\sum_b C_b}{3N_{\rm in}}\\\widehat S_1&=\tfrac{C_H-C_V}{N_{\rm in}}\\\widehat S_2&=\tfrac{C_D-C_A}{N_{\rm in}}\\\widehat S_3&=\tfrac{C_L-C_R}{N_{\rm in}}\end{aligned}

六次独立等曝光、已标定入射期望、单位效率。只用四次线分析时，总强度采用两对和，圆 Stokes 保持未知。关闭噪声记录可为小数的期望。

物理态与带噪估计

p=\frac{\sqrt{S_1^2+S_2^2+S_3^2}}{S_0}\le1

真实相干矩阵满足此不等式。无约束有限计数估计可违反它。线检偏曲线平坦可能是圆偏振、非偏振或混合态，不能唯一辨认。

常见难点

偏振片越多，光一定越少？

容易误解交叉首尾两片之间插入中间片，不可能让探测器变亮。

正确理解中间投影改变了末片收到的偏振态。对非偏振源，斜放中间片后透过八分之一；不插时为零。每一片仍然吸收功率，没有创造能量。

动手实验

01
场景 1：Malus 定律检偏
先用单片检偏。把透光轴转过半圈，再比较线偏振、圆偏振和非偏振输入。
应该观察到： Jones 矢量只描述偏振分量。非偏振余量通过相干矩阵传播，不伪造确定椭圆。
02
场景 2：三偏振片现象
选择三片偏振片，末片保持交叉。移出、插入斜放中间片，看实体镜架离开光束。
应该观察到： 椭圆面板共用固定振幅尺度。局部相位任意选零；慢放光场不是光子运动或测得的光学相位。
03
场景 3：Stokes 偏振测量
测量 Stokes。逐条选择曝光，检查实际检偏设置。去掉圆分析，反转椭圆率，再加回来。试低 Poisson 计数。
应该观察到： 六条记录是同一入射态的逐次等曝光，不是六束出射分支。计数估计器不读取参考态。