光学 073 · 偏振、各向异性与光学调制

偏振态探索器

Jones 矢量、偏振椭圆和 Stokes 测量，怎样描述同一个偏振态？ 它们是同一个偏振态的不同写法。Jones 矢量写出两个场分量及其相位差；椭圆是场矢量末端在一个周期里画出的轨迹；Stokes 参数由透过偏振器测到的光强算出。只用线偏振片，测不出场往哪边转，判断旋向得加一次圆偏振分析。

在光学台上转动偏振片，观察马吕斯定律和第三偏振片效应；再由计数测出 Stokes 参数，看旋向在什么情况下无法分辨。

探测器期望／源功率

I_D/I_0

$0.50$

入射偏振／吸收功率

p,I_{\rm abs}

$50\%$

测量／投影检查

\mathcal V

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

偏振态探索器

装置（下方有命名按钮）

m

0

方位角

\psi

0^{\circ}

椭圆率角（不是轴比）

\chi

0^{\circ}

入射偏振功率比例

p

1

末片检偏器透光轴

\alpha

35^{\circ}

中间片透光轴

\theta_2

45^{\circ}

中间片：零移出，一插入

j_2

1

圆分析：零移出，一加入

j_C

1

每次等曝光入射的期望电子数

N_{\rm in}

10000

零期望记录，一 Poisson 计数

n

0

检查分析记录索引

j

0

两片偏振片正交时，光被挡住；在中间斜插第三片，光又亮了。转动各片的透光轴，比较固定尺度的场椭圆，再用几次单独的强度曝光测出 Stokes 参数。去掉圆偏振分析，看看只做线偏振测量会缺什么信息。

偏振片理想、吸收式，光用单色相干矩阵描述，圆偏振分析器固定且已标定。每次曝光相同，Poisson 噪声可选。不考虑正交时的漏光、对准误差和自标定。

物理教程

检验偏振态探索器的物理过程

背景线偏振片透过的是电场在透光轴上的投影，它并不是一道只让某个方向通过的缝。对一般的混合偏振态，透射功率为 $I_\alpha=\tfrac12(S_0+S_1\cos2\alpha+S_2\sin2\alpha)$ 。纯线偏振输入时退化为马吕斯定律。非偏振或圆偏振输入时，任意理想线检偏器都透过一半功率。

为什么值得理解Jones 矢量、偏振椭圆和 Stokes 测量，怎样描述同一个偏振态？

先抓重点

核心问题: Jones 矢量、偏振椭圆和 Stokes 测量，怎样描述同一个偏振态？
一句话直觉: 线偏振投影看不到旋向： $I_\alpha(S_3)=I_\alpha(-S_3)$ 。要确定缺失的那个分量，必须加上两次标定过的圆偏振分析曝光。平坦的检偏曲线推不出它。

核心数学模型

Jones 场与部分偏振混合

\begin{aligned}\mathbf j&=\cos\chi\,\mathbf a_\psi+i\sin\chi\,\mathbf b_\psi\\\mathbf a_\psi&=(\cos\psi,\sin\psi)^{\mathsf T}\\\mathbf b_\psi&=(-\sin\psi,\cos\psi)^{\mathsf T}\\\mathbf C&=p\mathbf j\mathbf j^\dagger+\tfrac{1-p}{2}\mathbf1\\\mathbf E(t)&=\Re\{\mathbf j e^{-i\omega t}\}\end{aligned}

光源功率取一。水平基矢沿场景负 Z，竖直基矢沿正 Y，两者叉乘沿光束的正 X 方向。迎着光源看，角度以逆时针为正。按这里采用的 NIST 约定，正椭圆率表示左旋。

理想投影与马吕斯极限

\begin{aligned}\mathbf C'&=\mathbf P_\alpha\mathbf C\mathbf P_\alpha^\dagger\\\mathbf P_\alpha&=\mathbf a_\alpha\mathbf a_\alpha^{\mathsf T}\\\mathbf a_\alpha&=(\cos\alpha,\sin\alpha)^{\mathsf T}\\I_{\rm linear}/I_0&=\cos^2(\alpha-\psi)\end{aligned}

垂直于透光轴的分量被吸收。出射光是沿透光轴的纯线偏振光；四周不透明的镜架始终不透光。

三次投影，不是增添能量

\begin{aligned}I_D/I_0&=\tfrac12\cos^2\theta_2\cos^2(\alpha-\theta_2)\\\alpha&=\tfrac\pi2,\quad\theta_2=\tfrac\pi4\\I_D/I_0&=\tfrac18\end{aligned}

此式假设入射光非偏振，第一片固定为水平。去掉中间片，正交的首尾两片就完全不透光。

由计数估计 Stokes 参数

\begin{aligned}C_b&\sim{\rm Poisson}(N_{\rm in}I_b)\\\widehat S_0&=\tfrac{\sum_b C_b}{3N_{\rm in}}\\\widehat S_1&=\tfrac{C_H-C_V}{N_{\rm in}}\\\widehat S_2&=\tfrac{C_D-C_A}{N_{\rm in}}\\\widehat S_3&=\tfrac{C_L-C_R}{N_{\rm in}}\end{aligned}

估计用六次独立的等时曝光、标定过的入射期望计数，并假设探测效率为一。只有四条线偏振记录时，总强度由两对计数之和给出，圆偏振 Stokes 分量仍然未知。关闭噪声时，记录的是期望值，可以是小数。

物理态与带噪估计

p=\frac{\sqrt{S_1^2+S_2^2+S_3^2}}{S_0}\le1

真实的相干矩阵都满足这个不等式，但有限计数下不加约束的估计可能违反它。线检偏扫描是平的，可能是圆偏振、非偏振或两者混合，无法确定是哪一种。

常见难点

偏振片越多，光一定越少？

容易误解交叉首尾两片之间插入中间片，不可能让探测器变亮。

正确理解中间那片把光投影到新的方向上，改变了到达最后一片时的偏振态。对非偏振光源，斜放的中间片能让八分之一的功率通过；不放它，一点也过不去。每一片仍在吸收功率，并没有凭空产生能量。

动手实验

01
场景 1：Malus 定律检偏
先用单片检偏。把透光轴转过半圈，再比较线偏振、圆偏振和非偏振输入。
你会看到： Jones 矢量只描述偏振部分。剩下的非偏振部分用相干矩阵传播，不给它画一个确定的椭圆。
02
场景 2：三偏振片现象
选择三片偏振片，末片保持正交。把斜放的中间片移出再插回，看它的实体镜架离开光束。
你会看到： 所有椭圆面板共用一个固定的振幅尺度。局部相位的零点可以任意选；慢放的光场动画既不是光子运动，也不是测得的光学相位。
03
场景 3：Stokes 偏振测量
测量 Stokes 参数。逐条选择曝光，看它实际用的是哪种检偏设置。去掉圆偏振记录，反转椭圆率，再把记录加回来。也试试较低的 Poisson 计数。
你会看到： 六条记录是对同一入射态分别做的等时曝光，不是六束出射光。计数估计器只用计数，从不读取参考态。