M009 · 运动基底

极坐标运动学

一根臂一边转动一边伸缩，端点的速度和加速度怎样算？ 速度有两部分：沿臂方向的伸缩速度，和垂直于臂、大小为半径乘角速度的横向速度。再求一次导，随臂转动的基矢会多出两项：指向中心的向心项，以及臂一边伸缩一边转动时才有的横向交叉项。

设定半径怎样伸缩、角度怎样加速，在旋转臂上读出带符号的矢量分量。再从带噪声的笛卡尔位置重建运动，看角度混叠怎样出现。

带符号径向加速度 $\text{就绪}$

带符号横向加速度 $\text{就绪}$

半径二阶导数 $\text{就绪}$

向心贡献 $\text{就绪}$

角加速度贡献 $\text{就绪}$

径向与角向交叉项 $\text{就绪}$

极坐标拟合加速度均方根误差 $\text{就绪}$

最大观测角步长 $\text{就绪}$

选中时刻标架 $\text{就绪}$

选中时间 $\text{就绪}$

选中速率 $\text{就绪}$

加速度大小 $\text{就绪}$

带符号切向加速度 $\text{就绪}$

法向加速度 $\text{就绪}$

几何曲率 $\text{就绪}$

密切半径 $\text{就绪}$

采样路径长度 $\text{就绪}$

采集位置数 $\text{就绪}$

笛卡尔速度矢量均方根误差 $\text{就绪}$

笛卡尔加速度均方根误差 $\text{就绪}$

设定路径、计时和采样位置

分解旋转基底上的分量

初始半径

r_0

2.00\,m

窗口内径向对数增幅

d

0.35\,

径向伸缩比例

\epsilon_r

0.25\,

初始带符号角速度

\omega_0

1.00\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s}

带符号角加速度

\alpha

0.10\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s^2}}

初始角

\theta_0

0.00\,{}^\circ

运动时长

T

6.00\,s

选中时间比例

t/T

0.40\,

位置采样率

f_s

20.00\,Hz

位置噪声上界

\eta

0.00\,mm

二次拟合窗口；奇数测点

n_w

5.00\,

在两幅规律图里，可以拖动蓝色的半径和伸缩手柄，也可以拖动铜色的初角和角加速度手柄。整个时间窗口内半径始终为正，角速度却可以反向。在物理水平面内，逆时针为正角；场景把这个平面整体转一下再显示。

伸缩臂只标出给定质点的位置，不模拟力的规律。蓝色径向和铜色横向加速度箭头在同一记录内共用一个固定比例。细的基矢箭头表示单位方向，显示长度单独设定。

交叉项出现，是因为基矢本身在转，求导时也要对它们求导。它是惯性系里加速度的一部分，不是额外的力。横向的两项都不为零，加起来仍可能互相抵消。

极坐标重建只用采集到的笛卡尔位置，算出半径，再把角度展开到最近的分支。两帧之间漏掉的整圈无法找回，所以相邻帧角度变化小，并不能证明没有混叠。

采集只记录笛卡尔位置。时间是精确的，每个坐标带有以毫米计、有上限且可复现的噪声。导数用局部最小二乘二次拟合估计，两端用单侧窗口。估计器拿不到轨迹的运动规律。

拟合窗口取奇数个点，记录太短时自动减少点数。估计加速度至少需要三个位置。窗口越大，噪声压得越低，但在轨迹弯曲或变化快的地方会带来偏差。均方根误差只把解析轨迹当作独立对照。

长度单位是米。速度和加速度箭头用连接线抬高，方便观察，方向和显示比例不变。标记和支架只是示意。画面不会自动播放，拖动金色时钟来改变时间。改拟合窗口不影响已采集的位置；改了轨迹或传感器，就要重新采集。

运动是事先给定的，位置观测是模拟的。这里不作力学或安全认证。

先抓重点

核心问题: 横向交叉项是从哪里来的？
一句话直觉: 求导时，系数要求导，它乘的基矢也要求导。

核心数学模型

始终为正的半径与可正可负的转动

\begin{aligned}r(t)&=r_0e^{dt/T}\left[1+\epsilon_r\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right]\\\theta(t)&=\theta_0+\omega_0t+\tfrac12\alpha t^2\end{aligned}

伸缩比例严格小于一，半径就始终为正。

基底也需要求导

\dot{\mathbf e}_r=\dot\theta\mathbf e_\theta,\qquad\dot{\mathbf e}_\theta=-\dot\theta\mathbf e_r

方向在转，基矢就在变，哪怕前面的系数不变。

速度分量

\mathbf v=\dot r\mathbf e_r+r\dot\theta\mathbf e_\theta

半径的变化和转动，都对惯性系里的速度有贡献。

加速度分量

\begin{aligned}\mathbf a&=(\ddot r-r\dot\theta^2)\mathbf e_r\\&\quad+(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\mathbf e_\theta\end{aligned}

交叉项完全来自运动学。这些分量带符号，沿的是当前时刻的基矢。

从位置重建运动

\begin{aligned}\widehat r_i&=\sqrt{x_i^2+y_i^2}\\\widehat\theta_i&=\operatorname{unwrap}(\operatorname{atan2}(y_i,x_i))\end{aligned}

对测得的半径和展开后的角度，按时间做局部二次拟合。展开时总取最近的分支，漏掉的整圈就识别不出来。

常见难点

平滑曲线不等于真实加速度

容易误解重建得很平滑、图线画得很密，就证明得到了真实加速度。

正确理解采样可能漏掉转弯，局部拟合会带来偏差，采样中的最大值也不能保证是连续曲线的上界。

动手实验

01
从圆周开始
选择匀速圆周并拖动时钟。
你会看到： 径向加速度朝内，速度沿横向。
02
单独看交叉项
对比纯径向、内收螺旋及伸缩螺旋。
你会看到： 交叉项的方向，由径向运动和转动的正负共同决定。
03
让转动反向
选择角向反转，检查角速度为零的中点。
你会看到： 转动反向的那一刻，角加速度仍然可以不为零。
04
漏掉一圈
采集角度混叠预设，提高采样率后重新采集。
你会看到： 原始角度的拟合可能很平滑，却是错的；解析参考会把漏掉的运动显示出来。