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Sandbox Physics

M009 · 运动基底

极坐标运动学

设定径向伸缩及角加速度，在旋转臂上检查带符号矢量分量，再从带噪笛卡尔位置重建运动，观察角度混叠。

交互模型极坐标运动学
带符号径向加速度就绪\text{就绪}
带符号横向加速度就绪\text{就绪}
半径二阶导数就绪\text{就绪}
向心贡献就绪\text{就绪}
角加速度贡献就绪\text{就绪}
径向与角向交叉项就绪\text{就绪}
极坐标拟合加速度均方根误差就绪\text{就绪}
最大观测角步长就绪\text{就绪}
选中时刻标架就绪\text{就绪}
选中时间就绪\text{就绪}
选中速率就绪\text{就绪}
加速度大小就绪\text{就绪}
带符号切向加速度就绪\text{就绪}
法向加速度就绪\text{就绪}
几何曲率就绪\text{就绪}
密切半径就绪\text{就绪}
采样路径长度就绪\text{就绪}
采集位置数就绪\text{就绪}
笛卡尔速度矢量均方根误差就绪\text{就绪}
笛卡尔加速度均方根误差就绪\text{就绪}

物理教程

旋转基底也是导数的一部分

背景运动包含几何、遍历时钟及观测记录。

为什么值得理解把装置上锚定的矢量与采集位置恢复的导数连接起来。

先抓重点

核心问题
横向交叉项从哪里来？
一句话直觉
系数与基矢都需要求导。

核心数学模型

正径向定律及带符号旋转

r(t)=r0edt/T[1+ϵrsin⁡(2πtT)]θ(t)=θ0+ω0t+12αt2\begin{aligned}r(t)&=r_0e^{dt/T}\left[1+\epsilon_r\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right]\\\theta(t)&=\theta_0+\omega_0t+\tfrac12\alpha t^2\end{aligned}

伸缩比例严格小于一，使半径保持正值。

基底也需要求导

e˙r=θ˙eθ,e˙θ=−θ˙er\dot{\mathbf e}_r=\dot\theta\mathbf e_\theta,\qquad\dot{\mathbf e}_\theta=-\dot\theta\mathbf e_r

方向在旋转，即使系数恒定也会变化。

速度分量

v=r˙er+rθ˙eθ\mathbf v=\dot r\mathbf e_r+r\dot\theta\mathbf e_\theta

径向变化及旋转共同贡献惯性系速度。

加速度分量

a=(r¨−rθ˙2)er+(rθ¨+2r˙θ˙)eθ\begin{aligned}\mathbf a&=(\ddot r-r\dot\theta^2)\mathbf e_r\\&\quad+(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\mathbf e_\theta\end{aligned}

交叉项为运动学项；分量带符号，锚定瞬时基矢。

从位置重建

r^i=xi2+yi2θ^i=unwrap⁡(atan2⁡(yi,xi))\begin{aligned}\widehat r_i&=\sqrt{x_i^2+y_i^2}\\\widehat\theta_i&=\operatorname{unwrap}(\operatorname{atan2}(y_i,x_i))\end{aligned}

对采集半径及展开角作时间局部二次拟合；最近分支展开无法识别漏掉的整圈。

常见难点

模型与观测

容易误解平滑重建或密集图线证明真实加速度。

正确理解采样可能漏圈，局部拟合引入偏差，采样峰值不是认证连续界。

动手实验

  1. 01

    从圆周开始

    选择匀速圆周并拖动时钟。

    应该观察到： 径向加速度朝内，速度沿横向。
  2. 02

    分离交叉项

    对比纯径向、内收螺旋及伸缩螺旋。

    应该观察到： 径向运动及旋转符号共同决定交叉项方向。
  3. 03

    反转角向运动

    选择角向反转，检查角速度为零的中点。

    应该观察到： 角向反转时角加速度仍可非零。
  4. 04

    漏掉一圈

    采集角度混叠预设，提高采样率后重新采集。

    应该观察到： 原始角拟合可能平滑却错误；解析对照揭示漏掉的运动。